Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6781 / 8054
↖ ↑ ↗
← N 79.312832°
W142.750854°		 ← 113.27 m → N 79.312832°
W142.745361°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
N 79.311813°
W142.750854°		 ← 113.28 m →
12 831 m²		 N 79.311813°
W142.745361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103477478027344 y=0.122901916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103477478027344 × 216)
    floor (0.103477478027344 × 65536)
    floor (6781.5)     		tx = 6781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122901916503906 × 216)
    floor (0.122901916503906 × 65536)
    floor (8054.5)     		ty = 8054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6781 / 8054 ti = "16/6781/8054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6781/8054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6781 ÷ 216
    6781 ÷ 65536     		x = 0.103469848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8054 ÷ 216
    8054 ÷ 65536     		y = 0.122894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103469848632812 × 2 - 1) × π
    -0.793060302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.49147242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122894287109375 × 2 - 1) × π
    0.75421142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36942507442014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49147242} λ = -2.49147242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36942507442014))-π/2
    2×atan(10.6912438472652)-π/2
    2×1.47753318605917-π/2
    2.95506637211833-1.57079632675     		φ = 1.38427005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49147242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.750854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38427005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.312832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6781 KachelY 8054 -2.49147242 1.38427005 -142.750854 79.312832
    Oben rechts KachelX + 1 6782 KachelY 8054 -2.49137655 1.38427005 -142.745361 79.312832
    Unten links KachelX 6781 KachelY + 1 8055 -2.49147242 1.38425227 -142.750854 79.311813
    Unten rechts KachelX + 1 6782 KachelY + 1 8055 -2.49137655 1.38425227 -142.745361 79.311813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38427005-1.38425227) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38427005-1.38425227) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49147242--2.49137655) × cos(1.38427005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		do = 113.268485633982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49147242--2.49137655) × cos(1.38425227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185464023047244 × 6371000     		du = 113.279157052252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38427005)-sin(1.38425227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185446551482169-0.185464023047244)×R²
    abs(-2.49137655--2.49147242)×1.74715650746726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74715650746726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74715650746726e-05×40589641000000     		ar = 12831.2484310596m²