Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6781 / 6355
↖ ↑ ↗
← S 69.945375°
E117.993164°		 ← 1 675.66 m → S 69.945375°
E118.037109°		 →
↑
1 675.06 m
↓
↑
1 675.06 m
↓
S 69.960439°
E117.993164°		 ← 1 674.45 m →
2 805 819 m²		 S 69.960439°
E118.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82781982421875 y=0.77581787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82781982421875 × 213)
    floor (0.82781982421875 × 8192)
    floor (6781.5)     		tx = 6781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77581787109375 × 213)
    floor (0.77581787109375 × 8192)
    floor (6355.5)     		ty = 6355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6781 / 6355 ti = "13/6781/6355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6781/6355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6781 ÷ 213
    6781 ÷ 8192     		x = 0.8277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6355 ÷ 213
    6355 ÷ 8192     		y = 0.7757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8277587890625 × 2 - 1) × π
    0.655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05936921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05936921} λ = 2.05936921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73263129986731))-π/2
    2×atan(0.176818534722986)-π/2
    2×0.175009616939629-π/2
    0.350019233879258-1.57079632675     		φ = -1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05936921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6781 KachelY 6355 2.05936921 -1.22077709 117.993164 -69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 6782 KachelY 6355 2.06013620 -1.22077709 118.037109 -69.945375
    Unten links KachelX 6781 KachelY + 1 6356 2.05936921 -1.22104001 117.993164 -69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 6782 KachelY + 1 6356 2.06013620 -1.22104001 118.037109 -69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22077709--1.22104001) × R
    0.000262920000000166 × 6371000     		dl = 1675.06332000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22077709--1.22104001) × R
    0.000262920000000166 × 6371000     		dr = 1675.06332000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05936921-2.06013620) × cos(-1.22077709) × R
    0.000766990000000245 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 1675.65613645303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05936921-2.06013620) × cos(-1.22104001) × R
    0.000766990000000245 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 1674.44922152984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22077709)-sin(-1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.34266888792337)×R²
    abs(2.06013620-2.05936921)×0.00024698998884376×R²
    0.000766990000000245×0.00024698998884376×6371000²
    0.000766990000000245×0.00024698998884376×40589641000000     		ar = 2805819.31781274m²