Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67809 / 47762
↖ ↑ ↗
← N 43.798854°
E  6.242981°		 ← 220.45 m → N 43.798854°
E  6.245728°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 43.796872°
E  6.242981°		 ← 220.46 m →
48 596 m²		 N 43.796872°
E  6.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517345428466797 y=0.364398956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517345428466797 × 217)
    floor (0.517345428466797 × 131072)
    floor (67809.5)     		tx = 67809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364398956298828 × 217)
    floor (0.364398956298828 × 131072)
    floor (47762.5)     		ty = 47762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67809 / 47762 ti = "17/67809/47762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67809/47762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67809 ÷ 217
    67809 ÷ 131072     		x = 0.517341613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47762 ÷ 217
    47762 ÷ 131072     		y = 0.364395141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517341613769531 × 2 - 1) × π
    0.0346832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10896057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364395141601562 × 2 - 1) × π
    0.271209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.852030453846878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10896057} λ = 0.10896057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852030453846878))-π/2
    2×atan(2.34440222302383)-π/2
    2×1.1676152690762-π/2
    2.3352305381524-1.57079632675     		φ = 0.76443421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10896057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.242981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76443421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.798854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67809 KachelY 47762 0.10896057 0.76443421 6.242981 43.798854
    Oben rechts KachelX + 1 67810 KachelY 47762 0.10900851 0.76443421 6.245728 43.798854
    Unten links KachelX 67809 KachelY + 1 47763 0.10896057 0.76439961 6.242981 43.796872
    Unten rechts KachelX + 1 67810 KachelY + 1 47763 0.10900851 0.76439961 6.245728 43.796872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76443421-0.76439961) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76443421-0.76439961) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10896057-0.10900851) × cos(0.76443421) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721774072460265 × 6371000     		do = 220.448380193973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10896057-0.10900851) × cos(0.76439961) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721798019682515 × 6371000     		du = 220.45569429205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76443421)-sin(0.76439961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721774072460265-0.721798019682515)×R²
    abs(0.10900851-0.10896057)×2.39472222495207e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39472222495207e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39472222495207e-05×40589641000000     		ar = 48595.6975575717m²