Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67808 / 69728
↖ ↑ ↗
← S 11.436955°
E  6.240235°		 ← 299.30 m → S 11.436955°
E  6.242981°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.439647°
E  6.240235°		 ← 299.30 m →
89 602 m²		 S 11.439647°
E  6.242981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517337799072266 y=0.531986236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517337799072266 × 217)
    floor (0.517337799072266 × 131072)
    floor (67808.5)     		tx = 67808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531986236572266 × 217)
    floor (0.531986236572266 × 131072)
    floor (69728.5)     		ty = 69728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67808 / 69728 ti = "17/67808/69728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67808/69728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67808 ÷ 217
    67808 ÷ 131072     		x = 0.517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69728 ÷ 217
    69728 ÷ 131072     		y = 0.531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517333984375 × 2 - 1) × π
    0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.200951483207275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10891264} λ = 0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200951483207275))-π/2
    2×atan(0.817952115004417)-π/2
    2×0.685591900937844-π/2
    1.37118380187569-1.57079632675     		φ = -0.19961252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19961252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.436955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67808 KachelY 69728 0.10891264 -0.19961252 6.240235 -11.436955
    Oben rechts KachelX + 1 67809 KachelY 69728 0.10896057 -0.19961252 6.242981 -11.436955
    Unten links KachelX 67808 KachelY + 1 69729 0.10891264 -0.19965951 6.240235 -11.439647
    Unten rechts KachelX + 1 67809 KachelY + 1 69729 0.10896057 -0.19965951 6.242981 -11.439647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19961252--0.19965951) × R
    4.69900000000245e-05 × 6371000     		dl = 299.373290000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19961252--0.19965951) × R
    4.69900000000245e-05 × 6371000     		dr = 299.373290000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10891264-0.10896057) × cos(-0.19961252) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980143484657647 × 6371000     		do = 299.298604166343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10891264-0.10896057) × cos(-0.19965951) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980134165949133 × 6371000     		du = 299.295758586594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19961252)-sin(-0.19965951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980143484657647-0.980134165949133)×R²
    abs(0.10896057-0.10891264)×9.3187085143942e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.3187085143942e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.3187085143942e-06×40589641000000     		ar = 89601.5818929544m²