Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67807 / 47800
↖ ↑ ↗
← N 43.723475°
E  6.237488°		 ← 220.73 m → N 43.723475°
E  6.240235°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
N 43.721490°
E  6.237488°		 ← 220.73 m →
48 727 m²		 N 43.721490°
E  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517330169677734 y=0.364688873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517330169677734 × 217)
    floor (0.517330169677734 × 131072)
    floor (67807.5)     		tx = 67807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364688873291016 × 217)
    floor (0.364688873291016 × 131072)
    floor (47800.5)     		ty = 47800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67807 / 47800 ti = "17/67807/47800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67807/47800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67807 ÷ 217
    67807 ÷ 131072     		x = 0.517326354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47800 ÷ 217
    47800 ÷ 131072     		y = 0.36468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517326354980469 × 2 - 1) × π
    0.0346527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10886470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36468505859375 × 2 - 1) × π
    0.2706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.850208851661316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10886470} λ = 0.10886470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850208851661316))-π/2
    2×atan(2.34013554208801)-π/2
    2×1.16695746206381-π/2
    2.33391492412762-1.57079632675     		φ = 0.76311860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10886470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.237488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76311860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.723475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67807 KachelY 47800 0.10886470 0.76311860 6.237488 43.723475
    Oben rechts KachelX + 1 67808 KachelY 47800 0.10891264 0.76311860 6.240235 43.723475
    Unten links KachelX 67807 KachelY + 1 47801 0.10886470 0.76308395 6.237488 43.721490
    Unten rechts KachelX + 1 67808 KachelY + 1 47801 0.10891264 0.76308395 6.240235 43.721490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76311860-0.76308395) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76311860-0.76308395) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10886470-0.10891264) × cos(0.76311860) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722684019051131 × 6371000     		do = 220.726301304913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10886470-0.10891264) × cos(0.76308395) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722707967954566 × 6371000     		du = 220.733615916466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76311860)-sin(0.76308395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722684019051131-0.722707967954566)×R²
    abs(0.10891264-0.10886470)×2.39489034344897e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39489034344897e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39489034344897e-05×40589641000000     		ar = 48727.2751273534m²