Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67806 / 47806
↖ ↑ ↗
← N 43.711564°
E  6.234741°		 ← 220.77 m → N 43.711564°
E  6.237488°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
N 43.709579°
E  6.234741°		 ← 220.78 m →
48 737 m²		 N 43.709579°
E  6.237488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517322540283203 y=0.364734649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517322540283203 × 217)
    floor (0.517322540283203 × 131072)
    floor (67806.5)     		tx = 67806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364734649658203 × 217)
    floor (0.364734649658203 × 131072)
    floor (47806.5)     		ty = 47806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67806 / 47806 ti = "17/67806/47806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67806/47806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67806 ÷ 217
    67806 ÷ 131072     		x = 0.517318725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47806 ÷ 217
    47806 ÷ 131072     		y = 0.364730834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517318725585938 × 2 - 1) × π
    0.034637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10881676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364730834960938 × 2 - 1) × π
    0.270538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.849921230263596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10881676} λ = 0.10881676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849921230263596))-π/2
    2×atan(2.33946256581836)-π/2
    2×1.16685352203928-π/2
    2.33370704407856-1.57079632675     		φ = 0.76291072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10881676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76291072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.711564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67806 KachelY 47806 0.10881676 0.76291072 6.234741 43.711564
    Oben rechts KachelX + 1 67807 KachelY 47806 0.10886470 0.76291072 6.237488 43.711564
    Unten links KachelX 67806 KachelY + 1 47807 0.10881676 0.76287607 6.234741 43.709579
    Unten rechts KachelX + 1 67807 KachelY + 1 47807 0.10886470 0.76287607 6.237488 43.709579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76291072-0.76287607) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76291072-0.76287607) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10881676-0.10886470) × cos(0.76291072) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722827685635105 × 6371000     		do = 220.770180777572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10881676-0.10886470) × cos(0.76287607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722851629332412 × 6371000     		du = 220.777493799041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76291072)-sin(0.76287607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722827685635105-0.722851629332412)×R²
    abs(0.10886470-0.10881676)×2.39436973074048e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39436973074048e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39436973074048e-05×40589641000000     		ar = 48736.9615716227m²