Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67805 / 47808
↖ ↑ ↗
← N 43.707593°
E  6.231995°		 ← 220.74 m → N 43.707593°
E  6.234741°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
N 43.705608°
E  6.231995°		 ← 220.75 m →
48 730 m²		 N 43.705608°
E  6.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517314910888672 y=0.364749908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517314910888672 × 217)
    floor (0.517314910888672 × 131072)
    floor (67805.5)     		tx = 67805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364749908447266 × 217)
    floor (0.364749908447266 × 131072)
    floor (47808.5)     		ty = 47808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67805 / 47808 ti = "17/67805/47808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67805/47808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67805 ÷ 217
    67805 ÷ 131072     		x = 0.517311096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47808 ÷ 217
    47808 ÷ 131072     		y = 0.36474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517311096191406 × 2 - 1) × π
    0.0346221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10876883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36474609375 × 2 - 1) × π
    0.2705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.849825356464356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10876883} λ = 0.10876883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849825356464356))-π/2
    2×atan(2.33923828340557)-π/2
    2×1.16681887077317-π/2
    2.33363774154635-1.57079632675     		φ = 0.76284141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10876883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.231995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76284141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.707593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67805 KachelY 47808 0.10876883 0.76284141 6.231995 43.707593
    Oben rechts KachelX + 1 67806 KachelY 47808 0.10881676 0.76284141 6.234741 43.707593
    Unten links KachelX 67805 KachelY + 1 47809 0.10876883 0.76280676 6.231995 43.705608
    Unten rechts KachelX + 1 67806 KachelY + 1 47809 0.10881676 0.76280676 6.234741 43.705608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76284141-0.76280676) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76284141-0.76280676) × R
    3.46500000000249e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10876883-0.10881676) × cos(0.76284141) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.72287557907163 × 6371000     		do = 220.738754262746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10876883-0.10881676) × cos(0.76280676) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.722899521032914 × 6371000     		du = 220.746065228646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76284141)-sin(0.76280676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72287557907163-0.722899521032914)×R²
    abs(0.10881676-0.10876883)×2.39419612844127e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39419612844127e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39419612844127e-05×40589641000000     		ar = 48730.0237798482m²