Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67805 / 47321
↖ ↑ ↗
← N 44.666699°
E  6.231995°		 ← 217.18 m → N 44.666699°
E  6.234741°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 44.664746°
E  6.231995°		 ← 217.18 m →
47 169 m²		 N 44.664746°
E  6.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517314910888672 y=0.361034393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517314910888672 × 217)
    floor (0.517314910888672 × 131072)
    floor (67805.5)     		tx = 67805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361034393310547 × 217)
    floor (0.361034393310547 × 131072)
    floor (47321.5)     		ty = 47321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67805 / 47321 ti = "17/67805/47321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67805/47321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67805 ÷ 217
    67805 ÷ 131072     		x = 0.517311096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47321 ÷ 217
    47321 ÷ 131072     		y = 0.361030578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517311096191406 × 2 - 1) × π
    0.0346221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10876883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361030578613281 × 2 - 1) × π
    0.277938842773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.873170626579323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10876883} λ = 0.10876883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873170626579323))-π/2
    2×atan(2.39449086686474)-π/2
    2×1.17518864964429-π/2
    2.35037729928858-1.57079632675     		φ = 0.77958097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10876883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.231995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77958097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.666699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67805 KachelY 47321 0.10876883 0.77958097 6.231995 44.666699
    Oben rechts KachelX + 1 67806 KachelY 47321 0.10881676 0.77958097 6.234741 44.666699
    Unten links KachelX 67805 KachelY + 1 47322 0.10876883 0.77954688 6.231995 44.664746
    Unten rechts KachelX + 1 67806 KachelY + 1 47322 0.10881676 0.77954688 6.234741 44.664746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77958097-0.77954688) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77958097-0.77954688) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10876883-0.10881676) × cos(0.77958097) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.711208170765399 × 6371000     		do = 217.175970777516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10876883-0.10881676) × cos(0.77954688) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.711232134990223 × 6371000     		du = 217.183288541856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77958097)-sin(0.77954688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711208170765399-0.711232134990223)×R²
    abs(0.10881676-0.10876883)×2.39642248239802e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39642248239802e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39642248239802e-05×40589641000000     		ar = 47168.6769314137m²