Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67803 / 47770
↖ ↑ ↗
← N 43.782993°
E  6.226501°		 ← 220.51 m → N 43.782993°
E  6.229248°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
N 43.781010°
E  6.226501°		 ← 220.51 m →
48 623 m²		 N 43.781010°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517299652099609 y=0.364459991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517299652099609 × 217)
    floor (0.517299652099609 × 131072)
    floor (67803.5)     		tx = 67803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364459991455078 × 217)
    floor (0.364459991455078 × 131072)
    floor (47770.5)     		ty = 47770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67803 / 47770 ti = "17/67803/47770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67803/47770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67803 ÷ 217
    67803 ÷ 131072     		x = 0.517295837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47770 ÷ 217
    47770 ÷ 131072     		y = 0.364456176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517295837402344 × 2 - 1) × π
    0.0345916748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10867295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364456176757812 × 2 - 1) × π
    0.271087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851646958649918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10867295} λ = 0.10867295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851646958649918))-π/2
    2×atan(2.34350332840345)-π/2
    2×1.16747685226407-π/2
    2.33495370452814-1.57079632675     		φ = 0.76415738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10867295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.226501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76415738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.782993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67803 KachelY 47770 0.10867295 0.76415738 6.226501 43.782993
    Oben rechts KachelX + 1 67804 KachelY 47770 0.10872089 0.76415738 6.229248 43.782993
    Unten links KachelX 67803 KachelY + 1 47771 0.10867295 0.76412277 6.226501 43.781010
    Unten rechts KachelX + 1 67804 KachelY + 1 47771 0.10872089 0.76412277 6.229248 43.781010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76415738-0.76412277) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dl = 220.500310000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76415738-0.76412277) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dr = 220.500310000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10867295-0.10872089) × cos(0.76415738) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721965646799507 × 6371000     		do = 220.506891928301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10867295-0.10872089) × cos(0.76412277) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721989594026382 × 6371000     		du = 220.51420602779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76415738)-sin(0.76412277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721965646799507-0.721989594026382)×R²
    abs(0.10872089-0.10867295)×2.39472268749319e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39472268749319e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39472268749319e-05×40589641000000     		ar = 48622.6444128233m²