Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67802 / 47772
↖ ↑ ↗
← N 43.779027°
E  6.223755°		 ← 220.52 m → N 43.779027°
E  6.226501°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
N 43.777044°
E  6.223755°		 ← 220.53 m →
48 626 m²		 N 43.777044°
E  6.226501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517292022705078 y=0.364475250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517292022705078 × 217)
    floor (0.517292022705078 × 131072)
    floor (67802.5)     		tx = 67802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364475250244141 × 217)
    floor (0.364475250244141 × 131072)
    floor (47772.5)     		ty = 47772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67802 / 47772 ti = "17/67802/47772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67802/47772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67802 ÷ 217
    67802 ÷ 131072     		x = 0.517288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47772 ÷ 217
    47772 ÷ 131072     		y = 0.364471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517288208007812 × 2 - 1) × π
    0.034576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10862501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364471435546875 × 2 - 1) × π
    0.27105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851551084850678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10862501} λ = 0.10862501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851551084850678))-π/2
    2×atan(2.34327865860597)-π/2
    2×1.16744224232132-π/2
    2.33488448464264-1.57079632675     		φ = 0.76408816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10862501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76408816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.779027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67802 KachelY 47772 0.10862501 0.76408816 6.223755 43.779027
    Oben rechts KachelX + 1 67803 KachelY 47772 0.10867295 0.76408816 6.226501 43.779027
    Unten links KachelX 67802 KachelY + 1 47773 0.10862501 0.76405355 6.223755 43.777044
    Unten rechts KachelX + 1 67803 KachelY + 1 47773 0.10867295 0.76405355 6.226501 43.777044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76408816-0.76405355) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dl = 220.500310000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76408816-0.76405355) × R
    3.4610000000046e-05 × 6371000     		dr = 220.500310000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10862501-0.10867295) × cos(0.76408816) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		do = 220.5215198632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10862501-0.10867295) × cos(0.76405355) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722037485885593 × 6371000     		du = 220.528833434394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76408816)-sin(0.76405355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72201354038842-0.722037485885593)×R²
    abs(0.10867295-0.10862501)×2.39454971726616e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39454971726616e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39454971726616e-05×40589641000000     		ar = 48625.8698187873m²