Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67802 / 47238
↖ ↑ ↗
← N 44.828604°
E  6.223755°		 ← 216.61 m → N 44.828604°
E  6.226501°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 44.826657°
E  6.223755°		 ← 216.62 m →
46 909 m²		 N 44.826657°
E  6.226501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517292022705078 y=0.360401153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517292022705078 × 217)
    floor (0.517292022705078 × 131072)
    floor (67802.5)     		tx = 67802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360401153564453 × 217)
    floor (0.360401153564453 × 131072)
    floor (47238.5)     		ty = 47238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67802 / 47238 ti = "17/67802/47238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67802/47238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67802 ÷ 217
    67802 ÷ 131072     		x = 0.517288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47238 ÷ 217
    47238 ÷ 131072     		y = 0.360397338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517288208007812 × 2 - 1) × π
    0.034576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10862501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360397338867188 × 2 - 1) × π
    0.279205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.877149389247788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10862501} λ = 0.10862501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877149389247788))-π/2
    2×atan(2.40403695595394)-π/2
    2×1.17660153517723-π/2
    2.35320307035445-1.57079632675     		φ = 0.78240674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10862501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78240674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.828604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67802 KachelY 47238 0.10862501 0.78240674 6.223755 44.828604
    Oben rechts KachelX + 1 67803 KachelY 47238 0.10867295 0.78240674 6.226501 44.828604
    Unten links KachelX 67802 KachelY + 1 47239 0.10862501 0.78237275 6.223755 44.826657
    Unten rechts KachelX + 1 67803 KachelY + 1 47239 0.10867295 0.78237275 6.226501 44.826657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78240674-0.78237275) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78240674-0.78237275) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10862501-0.10867295) × cos(0.78240674) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.709218869991076 × 6371000     		do = 216.613698189034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10862501-0.10867295) × cos(0.78237275) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.709242832135902 × 6371000     		du = 216.62101684485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78240674)-sin(0.78237275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709218869991076-0.709242832135902)×R²
    abs(0.10867295-0.10862501)×2.39621448261396e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39621448261396e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39621448261396e-05×40589641000000     		ar = 46908.5515939131m²