Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67801 / 68378
↖ ↑ ↗
← S  7.781751°
E  6.221008°		 ← 302.55 m → S  7.781751°
E  6.223755°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
S  7.784472°
E  6.221008°		 ← 302.55 m →
91 539 m²		 S  7.784472°
E  6.223755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517284393310547 y=0.521686553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517284393310547 × 217)
    floor (0.517284393310547 × 131072)
    floor (67801.5)     		tx = 67801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521686553955078 × 217)
    floor (0.521686553955078 × 131072)
    floor (68378.5)     		ty = 68378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67801 / 68378 ti = "17/67801/68378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67801/68378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67801 ÷ 217
    67801 ÷ 131072     		x = 0.517280578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68378 ÷ 217
    68378 ÷ 131072     		y = 0.521682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517280578613281 × 2 - 1) × π
    0.0345611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10857708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521682739257812 × 2 - 1) × π
    -0.043365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.1362366687202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10857708} λ = 0.10857708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1362366687202))-π/2
    2×atan(0.872636082382891)-π/2
    2×0.717489574120824-π/2
    1.43497914824165-1.57079632675     		φ = -0.13581718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10857708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.221008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13581718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.781751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67801 KachelY 68378 0.10857708 -0.13581718 6.221008 -7.781751
    Oben rechts KachelX + 1 67802 KachelY 68378 0.10862501 -0.13581718 6.223755 -7.781751
    Unten links KachelX 67801 KachelY + 1 68379 0.10857708 -0.13586467 6.221008 -7.784472
    Unten rechts KachelX + 1 67802 KachelY + 1 68379 0.10862501 -0.13586467 6.223755 -7.784472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13581718--0.13586467) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dl = 302.558789999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13581718--0.13586467) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dr = 302.558789999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10857708-0.10862501) × cos(-0.13581718) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.990791015852851 × 6371000     		do = 302.549955906511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10857708-0.10862501) × cos(-0.13586467) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.990784584589078 × 6371000     		du = 302.54799204275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13581718)-sin(-0.13586467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990791015852851-0.990784584589078)×R²
    abs(0.10862501-0.10857708)×6.4312637726438e-06×R²
    4.79299999999877e-05×6.4312637726438e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×6.4312637726438e-06×40589641000000     		ar = 91538.851498712m²