Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67801 / 47784
↖ ↑ ↗
← N 43.755225°
E  6.221008°		 ← 220.56 m → N 43.755225°
E  6.223755°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 43.753241°
E  6.221008°		 ← 220.57 m →
48 649 m²		 N 43.753241°
E  6.223755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517284393310547 y=0.364566802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517284393310547 × 217)
    floor (0.517284393310547 × 131072)
    floor (67801.5)     		tx = 67801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364566802978516 × 217)
    floor (0.364566802978516 × 131072)
    floor (47784.5)     		ty = 47784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67801 / 47784 ti = "17/67801/47784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67801/47784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67801 ÷ 217
    67801 ÷ 131072     		x = 0.517280578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47784 ÷ 217
    47784 ÷ 131072     		y = 0.36456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517280578613281 × 2 - 1) × π
    0.0345611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10857708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36456298828125 × 2 - 1) × π
    0.2708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.850975842055237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10857708} λ = 0.10857708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850975842055237))-π/2
    2×atan(2.34193109206603)-π/2
    2×1.16723453445225-π/2
    2.3344690689045-1.57079632675     		φ = 0.76367274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10857708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.221008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76367274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.755225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67801 KachelY 47784 0.10857708 0.76367274 6.221008 43.755225
    Oben rechts KachelX + 1 67802 KachelY 47784 0.10862501 0.76367274 6.223755 43.755225
    Unten links KachelX 67801 KachelY + 1 47785 0.10857708 0.76363812 6.221008 43.753241
    Unten rechts KachelX + 1 67802 KachelY + 1 47785 0.10862501 0.76363812 6.223755 43.753241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76367274-0.76363812) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76367274-0.76363812) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10857708-0.10862501) × cos(0.76367274) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.722300898423067 × 6371000     		do = 220.563268613235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10857708-0.10862501) × cos(0.76363812) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.722324840452657 × 6371000     		du = 220.570579599993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76367274)-sin(0.76363812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722300898423067-0.722324840452657)×R²
    abs(0.10862501-0.10857708)×2.39420295897741e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.39420295897741e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.39420295897741e-05×40589641000000     		ar = 48649.1274646899m²