Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67800 / 72264
↖ ↑ ↗
← S 18.166730°
E  6.218262°		 ← 290.20 m → S 18.166730°
E  6.221008°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 18.169340°
E  6.218262°		 ← 290.20 m →
84 216 m²		 S 18.169340°
E  6.221008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517276763916016 y=0.551334381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517276763916016 × 217)
    floor (0.517276763916016 × 131072)
    floor (67800.5)     		tx = 67800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551334381103516 × 217)
    floor (0.551334381103516 × 131072)
    floor (72264.5)     		ty = 72264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67800 / 72264 ti = "17/67800/72264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67800/72264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67800 ÷ 217
    67800 ÷ 131072     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72264 ÷ 217
    72264 ÷ 131072     		y = 0.55133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.322519460643738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322519460643738))-π/2
    2×atan(0.724321835900558)-π/2
    2×0.626863533411551-π/2
    1.2537270668231-1.57079632675     		φ = -0.31706926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31706926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.166730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67800 KachelY 72264 0.10852914 -0.31706926 6.218262 -18.166730
    Oben rechts KachelX + 1 67801 KachelY 72264 0.10857708 -0.31706926 6.221008 -18.166730
    Unten links KachelX 67800 KachelY + 1 72265 0.10852914 -0.31711481 6.218262 -18.169340
    Unten rechts KachelX + 1 67801 KachelY + 1 72265 0.10857708 -0.31711481 6.221008 -18.169340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31706926--0.31711481) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31706926--0.31711481) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10857708) × cos(-0.31706926) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.950153252963502 × 6371000     		do = 290.201260399847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10857708) × cos(-0.31711481) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.950139050250714 × 6371000     		du = 290.196922525783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31706926)-sin(-0.31711481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950153252963502-0.950139050250714)×R²
    abs(0.10857708-0.10852914)×1.42027127887356e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.42027127887356e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.42027127887356e-05×40589641000000     		ar = 84215.5006679472m²