Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67800 / 47783
↖ ↑ ↗
← N 43.757209°
E  6.218262°		 ← 220.60 m → N 43.757209°
E  6.221008°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 43.755225°
E  6.218262°		 ← 220.61 m →
48 672 m²		 N 43.755225°
E  6.221008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517276763916016 y=0.364559173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517276763916016 × 217)
    floor (0.517276763916016 × 131072)
    floor (67800.5)     		tx = 67800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364559173583984 × 217)
    floor (0.364559173583984 × 131072)
    floor (47783.5)     		ty = 47783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67800 / 47783 ti = "17/67800/47783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67800/47783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67800 ÷ 217
    67800 ÷ 131072     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47783 ÷ 217
    47783 ÷ 131072     		y = 0.364555358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364555358886719 × 2 - 1) × π
    0.270889282226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.851023778954857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851023778954857))-π/2
    2×atan(2.34204335967257)-π/2
    2×1.16725184659807-π/2
    2.33450369319615-1.57079632675     		φ = 0.76370737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76370737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.757209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67800 KachelY 47783 0.10852914 0.76370737 6.218262 43.757209
    Oben rechts KachelX + 1 67801 KachelY 47783 0.10857708 0.76370737 6.221008 43.757209
    Unten links KachelX 67800 KachelY + 1 47784 0.10852914 0.76367274 6.218262 43.755225
    Unten rechts KachelX + 1 67801 KachelY + 1 47784 0.10857708 0.76367274 6.221008 43.755225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76370737-0.76367274) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76370737-0.76367274) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10857708) × cos(0.76370737) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722276948611728 × 6371000     		do = 220.601971514726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10857708) × cos(0.76367274) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722300898423067 × 6371000     		du = 220.609286403577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76370737)-sin(0.76367274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722276948611728-0.722300898423067)×R²
    abs(0.10857708-0.10852914)×2.3949811338797e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.3949811338797e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.3949811338797e-05×40589641000000     		ar = 48671.7191475268m²