Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6780 / 2972
↖ ↑ ↗
← N 44.213710°
E117.949219°		 ← 3 502.36 m → N 44.213710°
E117.993164°		 →
↑
3 503.29 m
↓
↑
3 503.29 m
↓
N 44.182204°
E117.949219°		 ← 3 504.24 m →
12 273 061 m²		 N 44.182204°
E117.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82769775390625 y=0.36285400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82769775390625 × 213)
    floor (0.82769775390625 × 8192)
    floor (6780.5)     		tx = 6780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36285400390625 × 213)
    floor (0.36285400390625 × 8192)
    floor (2972.5)     		ty = 2972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6780 / 2972 ti = "13/6780/2972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6780/2972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6780 ÷ 213
    6780 ÷ 8192     		x = 0.82763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2972 ÷ 213
    2972 ÷ 8192     		y = 0.36279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82763671875 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05860222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36279296875 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05860222} λ = 2.05860222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.86209720276709))-π/2
    2×atan(2.36812192138352)-π/2
    2×1.17123556961159-π/2
    2.34247113922318-1.57079632675     		φ = 0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05860222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6780 KachelY 2972 2.05860222 0.77167481 117.949219 44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 6781 KachelY 2972 2.05936921 0.77167481 117.993164 44.213710
    Unten links KachelX 6780 KachelY + 1 2973 2.05860222 0.77112493 117.949219 44.182204
    Unten rechts KachelX + 1 6781 KachelY + 1 2973 2.05936921 0.77112493 117.993164 44.182204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77167481-0.77112493) × R
    0.000549880000000003 × 6371000     		dl = 3503.28548000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77167481-0.77112493) × R
    0.000549880000000003 × 6371000     		dr = 3503.28548000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05860222-2.05936921) × cos(0.77167481) × R
    0.000766989999999801 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 3502.36361802145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05860222-2.05936921) × cos(0.77112493) × R
    0.000766989999999801 × 0.717127112115856 × 6371000     		du = 3504.2368214303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77167481)-sin(0.77112493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.717127112115856)×R²
    abs(2.05936921-2.05860222)×0.00038334308422816×R²
    0.000766989999999801×0.00038334308422816×6371000²
    0.000766989999999801×0.00038334308422816×40589641000000     		ar = 12273061.1010969m²