Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6780 / 1846
↖ ↑ ↗
← N 79.974243°
W 31.025391°		 ← 425.35 m → N 79.974243°
W 31.003418°		 →
↑
425.46 m
↓
↑
425.46 m
↓
N 79.970417°
W 31.025391°		 ← 425.51 m →
181 003 m²		 N 79.970417°
W 31.003418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413848876953125 y=0.112701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413848876953125 × 214)
    floor (0.413848876953125 × 16384)
    floor (6780.5)     		tx = 6780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112701416015625 × 214)
    floor (0.112701416015625 × 16384)
    floor (1846.5)     		ty = 1846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6780 / 1846 ti = "14/6780/1846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6780/1846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6780 ÷ 214
    6780 ÷ 16384     		x = 0.413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1846 ÷ 214
    1846 ÷ 16384     		y = 0.1126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54149522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1126708984375 × 2 - 1) × π
    0.774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43366051991101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54149522} λ = -0.54149522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43366051991101))-π/2
    2×atan(11.4005376881002)-π/2
    2×1.48330509154332-π/2
    2.96661018308664-1.57079632675     		φ = 1.39581386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54149522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.025391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39581386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.974243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6780 KachelY 1846 -0.54149522 1.39581386 -31.025391 79.974243
    Oben rechts KachelX + 1 6781 KachelY 1846 -0.54111172 1.39581386 -31.003418 79.974243
    Unten links KachelX 6780 KachelY + 1 1847 -0.54149522 1.39574708 -31.025391 79.970417
    Unten rechts KachelX + 1 6781 KachelY + 1 1847 -0.54111172 1.39574708 -31.003418 79.970417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39581386-1.39574708) × R
    6.6780000000044e-05 × 6371000     		dl = 425.455380000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39581386-1.39574708) × R
    6.6780000000044e-05 × 6371000     		dr = 425.455380000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54149522--0.54111172) × cos(1.39581386) × R
    0.000383500000000092 × 0.174090872154458 × 6371000     		do = 425.352484981338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54149522--0.54111172) × cos(1.39574708) × R
    0.000383500000000092 × 0.174156632008339 × 6371000     		du = 425.51315461849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39581386)-sin(1.39574708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174090872154458-0.174156632008339)×R²
    abs(-0.54111172--0.54149522)×6.57598538816029e-05×R²
    0.000383500000000092×6.57598538816029e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.57598538816029e-05×40589641000000     		ar = 181002.6820797m²