Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67799 / 47785
↖ ↑ ↗
← N 43.753241°
E  6.215515°		 ← 220.62 m → N 43.753241°
E  6.218262°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 43.751257°
E  6.215515°		 ← 220.62 m →
48 675 m²		 N 43.751257°
E  6.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517269134521484 y=0.364574432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517269134521484 × 217)
    floor (0.517269134521484 × 131072)
    floor (67799.5)     		tx = 67799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364574432373047 × 217)
    floor (0.364574432373047 × 131072)
    floor (47785.5)     		ty = 47785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67799 / 47785 ti = "17/67799/47785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67799/47785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67799 ÷ 217
    67799 ÷ 131072     		x = 0.517265319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47785 ÷ 217
    47785 ÷ 131072     		y = 0.364570617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517265319824219 × 2 - 1) × π
    0.0345306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10848120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364570617675781 × 2 - 1) × π
    0.270858764648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.850927905155617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10848120} λ = 0.10848120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850927905155617))-π/2
    2×atan(2.34181882984113)-π/2
    2×1.16721722173248-π/2
    2.33443444346496-1.57079632675     		φ = 0.76363812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10848120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.215515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76363812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.753241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67799 KachelY 47785 0.10848120 0.76363812 6.215515 43.753241
    Oben rechts KachelX + 1 67800 KachelY 47785 0.10852914 0.76363812 6.218262 43.753241
    Unten links KachelX 67799 KachelY + 1 47786 0.10848120 0.76360349 6.215515 43.751257
    Unten rechts KachelX + 1 67800 KachelY + 1 47786 0.10852914 0.76360349 6.218262 43.751257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76363812-0.76360349) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dl = 220.627729999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76363812-0.76360349) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dr = 220.627729999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10848120-0.10852914) × cos(0.76363812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722324840452657 × 6371000     		do = 220.616598915618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10848120-0.10852914) × cos(0.76360349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722348788531797 × 6371000     		du = 220.623913275411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76363812)-sin(0.76360349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722324840452657-0.722348788531797)×R²
    abs(0.10852914-0.10848120)×2.39480791404123e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39480791404123e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39480791404123e-05×40589641000000     		ar = 48674.9462992389m²