Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67797 / 47753
↖ ↑ ↗
← N 43.816693°
E  6.210022°		 ← 220.38 m → N 43.816693°
E  6.212769°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
N 43.814711°
E  6.210022°		 ← 220.39 m →
48 567 m²		 N 43.814711°
E  6.212769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517253875732422 y=0.364330291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517253875732422 × 217)
    floor (0.517253875732422 × 131072)
    floor (67797.5)     		tx = 67797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364330291748047 × 217)
    floor (0.364330291748047 × 131072)
    floor (47753.5)     		ty = 47753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67797 / 47753 ti = "17/67797/47753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67797/47753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67797 ÷ 217
    67797 ÷ 131072     		x = 0.517250061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47753 ÷ 217
    47753 ÷ 131072     		y = 0.364326477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517250061035156 × 2 - 1) × π
    0.0345001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10838533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364326477050781 × 2 - 1) × π
    0.271347045898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.852461885943459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10838533} λ = 0.10838533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852461885943459))-π/2
    2×atan(2.34541389160759)-π/2
    2×1.16777094408021-π/2
    2.33554188816041-1.57079632675     		φ = 0.76474556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10838533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.210022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76474556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.816693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67797 KachelY 47753 0.10838533 0.76474556 6.210022 43.816693
    Oben rechts KachelX + 1 67798 KachelY 47753 0.10843327 0.76474556 6.212769 43.816693
    Unten links KachelX 67797 KachelY + 1 47754 0.10838533 0.76471097 6.210022 43.814711
    Unten rechts KachelX + 1 67798 KachelY + 1 47754 0.10843327 0.76471097 6.212769 43.814711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76474556-0.76471097) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dl = 220.37289000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76474556-0.76471097) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dr = 220.37289000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10838533-0.10843327) × cos(0.76474556) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721558543197576 × 6371000     		do = 220.382552009425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10838533-0.10843327) × cos(0.76471097) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721582491270972 × 6371000     		du = 220.389866367463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76474556)-sin(0.76471097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721558543197576-0.721582491270972)×R²
    abs(0.10843327-0.10838533)×2.39480733957853e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39480733957853e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39480733957853e-05×40589641000000     		ar = 48567.1458398917m²