Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67797 / 47316
↖ ↑ ↗
← N 44.676465°
E  6.210022°		 ← 217.18 m → N 44.676465°
E  6.212769°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
N 44.674513°
E  6.210022°		 ← 217.19 m →
47 157 m²		 N 44.674513°
E  6.212769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517253875732422 y=0.360996246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517253875732422 × 217)
    floor (0.517253875732422 × 131072)
    floor (67797.5)     		tx = 67797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360996246337891 × 217)
    floor (0.360996246337891 × 131072)
    floor (47316.5)     		ty = 47316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67797 / 47316 ti = "17/67797/47316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67797/47316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67797 ÷ 217
    67797 ÷ 131072     		x = 0.517250061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47316 ÷ 217
    47316 ÷ 131072     		y = 0.360992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517250061035156 × 2 - 1) × π
    0.0345001220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10838533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360992431640625 × 2 - 1) × π
    0.27801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.873410311077423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10838533} λ = 0.10838533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873410311077423))-π/2
    2×atan(2.39506485799201)-π/2
    2×1.1752738752502-π/2
    2.3505477505004-1.57079632675     		φ = 0.77975142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10838533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.210022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77975142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.676465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67797 KachelY 47316 0.10838533 0.77975142 6.210022 44.676465
    Oben rechts KachelX + 1 67798 KachelY 47316 0.10843327 0.77975142 6.212769 44.676465
    Unten links KachelX 67797 KachelY + 1 47317 0.10838533 0.77971734 6.210022 44.674513
    Unten rechts KachelX + 1 67798 KachelY + 1 47317 0.10843327 0.77971734 6.212769 44.674513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77975142-0.77971734) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dl = 217.123679999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77975142-0.77971734) × R
    3.40799999999364e-05 × 6371000     		dr = 217.123679999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10838533-0.10843327) × cos(0.77975142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.711088337244111 × 6371000     		do = 217.184681608136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10838533-0.10843327) × cos(0.77971734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.711112298570447 × 6371000     		du = 217.192000013963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77975142)-sin(0.77971734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711088337244111-0.711112298570447)×R²
    abs(0.10843327-0.10838533)×2.39613263360861e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39613263360861e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39613263360861e-05×40589641000000     		ar = 47156.7318144616m²