Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67796 / 72275
↖ ↑ ↗
← S 18.195434°
E  6.207275°		 ← 290.15 m → S 18.195434°
E  6.210022°		 →
↑
290.14 m
↓
↑
290.14 m
↓
S 18.198044°
E  6.207275°		 ← 290.15 m →
84 183 m²		 S 18.198044°
E  6.210022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517246246337891 y=0.551418304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517246246337891 × 217)
    floor (0.517246246337891 × 131072)
    floor (67796.5)     		tx = 67796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551418304443359 × 217)
    floor (0.551418304443359 × 131072)
    floor (72275.5)     		ty = 72275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67796 / 72275 ti = "17/67796/72275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67796/72275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67796 ÷ 217
    67796 ÷ 131072     		x = 0.517242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72275 ÷ 217
    72275 ÷ 131072     		y = 0.551414489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517242431640625 × 2 - 1) × π
    0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551414489746094 × 2 - 1) × π
    -0.102828979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.323046766539558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10833739} λ = 0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.323046766539558))-π/2
    2×atan(0.723939997407708)-π/2
    2×0.626613043307413-π/2
    1.25322608661483-1.57079632675     		φ = -0.31757024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31757024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.195434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67796 KachelY 72275 0.10833739 -0.31757024 6.207275 -18.195434
    Oben rechts KachelX + 1 67797 KachelY 72275 0.10838533 -0.31757024 6.210022 -18.195434
    Unten links KachelX 67796 KachelY + 1 72276 0.10833739 -0.31761578 6.207275 -18.198044
    Unten rechts KachelX + 1 67797 KachelY + 1 72276 0.10838533 -0.31761578 6.210022 -18.198044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31757024--0.31761578) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dl = 290.135340000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31757024--0.31761578) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dr = 290.135340000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10833739-0.10838533) × cos(-0.31757024) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949996936561541 × 6371000     		do = 290.153517347019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10833739-0.10838533) × cos(-0.31761578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949982715291568 × 6371000     		du = 290.149173805114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31757024)-sin(-0.31761578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949996936561541-0.949982715291568)×R²
    abs(0.10838533-0.10833739)×1.42212699727473e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42212699727473e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42212699727473e-05×40589641000000     		ar = 84183.1593147507m²