Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67796 / 69613
↖ ↑ ↗
← S 11.127202°
E  6.207275°		 ← 299.68 m → S 11.127202°
E  6.210022°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
S 11.129897°
E  6.207275°		 ← 299.68 m →
89 793 m²		 S 11.129897°
E  6.210022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517246246337891 y=0.531108856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517246246337891 × 217)
    floor (0.517246246337891 × 131072)
    floor (67796.5)     		tx = 67796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531108856201172 × 217)
    floor (0.531108856201172 × 131072)
    floor (69613.5)     		ty = 69613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67796 / 69613 ti = "17/67796/69613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67796/69613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67796 ÷ 217
    67796 ÷ 131072     		x = 0.517242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69613 ÷ 217
    69613 ÷ 131072     		y = 0.531105041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517242431640625 × 2 - 1) × π
    0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531105041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0622100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.195438739750969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10833739} λ = 0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195438739750969))-π/2
    2×atan(0.822473726966252)-π/2
    2×0.688295004707745-π/2
    1.37659000941549-1.57079632675     		φ = -0.19420632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19420632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.127202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67796 KachelY 69613 0.10833739 -0.19420632 6.207275 -11.127202
    Oben rechts KachelX + 1 67797 KachelY 69613 0.10838533 -0.19420632 6.210022 -11.127202
    Unten links KachelX 67796 KachelY + 1 69614 0.10833739 -0.19425335 6.207275 -11.129897
    Unten rechts KachelX + 1 67797 KachelY + 1 69614 0.10838533 -0.19425335 6.210022 -11.129897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19420632--0.19425335) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19420632--0.19425335) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10833739-0.10838533) × cos(-0.19420632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981201149162247 × 6371000     		do = 299.684087071707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10833739-0.10838533) × cos(-0.19425335) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981192071859198 × 6371000     		du = 299.681314629706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19420632)-sin(-0.19425335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981201149162247-0.981192071859198)×R²
    abs(0.10838533-0.10833739)×9.07730304899879e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.07730304899879e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.07730304899879e-06×40589641000000     		ar = 89793.367265804m²