Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67795 / 47789
↖ ↑ ↗
← N 43.745305°
E  6.204529°		 ← 220.60 m → N 43.745305°
E  6.207275°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 43.743321°
E  6.204529°		 ← 220.61 m →
48 671 m²		 N 43.743321°
E  6.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517238616943359 y=0.364604949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517238616943359 × 217)
    floor (0.517238616943359 × 131072)
    floor (67795.5)     		tx = 67795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364604949951172 × 217)
    floor (0.364604949951172 × 131072)
    floor (47789.5)     		ty = 47789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67795 / 47789 ti = "17/67795/47789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67795/47789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67795 ÷ 217
    67795 ÷ 131072     		x = 0.517234802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47789 ÷ 217
    47789 ÷ 131072     		y = 0.364601135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517234802246094 × 2 - 1) × π
    0.0344696044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10828946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364601135253906 × 2 - 1) × π
    0.270797729492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.850736157557136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10828946} λ = 0.10828946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850736157557136))-π/2
    2×atan(2.34136983475267)-π/2
    2×1.167147965114-π/2
    2.334295930228-1.57079632675     		φ = 0.76349960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10828946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.204529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76349960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.745305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67795 KachelY 47789 0.10828946 0.76349960 6.204529 43.745305
    Oben rechts KachelX + 1 67796 KachelY 47789 0.10833739 0.76349960 6.207275 43.745305
    Unten links KachelX 67795 KachelY + 1 47790 0.10828946 0.76346497 6.204529 43.743321
    Unten rechts KachelX + 1 67796 KachelY + 1 47790 0.10833739 0.76346497 6.207275 43.743321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76349960-0.76346497) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dl = 220.627729999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76349960-0.76346497) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dr = 220.627729999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10828946-0.10833739) × cos(0.76349960) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.7224206275715 × 6371000     		do = 220.599829349115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10828946-0.10833739) × cos(0.76346497) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.722444572185399 × 6371000     		du = 220.607141125022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76349960)-sin(0.76346497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7224206275715-0.722444572185399)×R²
    abs(0.10833739-0.10828946)×2.39446138988741e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39446138988741e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39446138988741e-05×40589641000000     		ar = 48671.2461826799m²