Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67794 / 47790
↖ ↑ ↗
← N 43.743321°
E  6.201782°		 ← 220.65 m → N 43.743321°
E  6.204529°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
N 43.741336°
E  6.201782°		 ← 220.66 m →
48 683 m²		 N 43.741336°
E  6.204529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517230987548828 y=0.364612579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517230987548828 × 217)
    floor (0.517230987548828 × 131072)
    floor (67794.5)     		tx = 67794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364612579345703 × 217)
    floor (0.364612579345703 × 131072)
    floor (47790.5)     		ty = 47790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67794 / 47790 ti = "17/67794/47790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67794/47790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67794 ÷ 217
    67794 ÷ 131072     		x = 0.517227172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47790 ÷ 217
    47790 ÷ 131072     		y = 0.364608764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517227172851562 × 2 - 1) × π
    0.034454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10824152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364608764648438 × 2 - 1) × π
    0.270782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.850688220657516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10824152} λ = 0.10824152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850688220657516))-π/2
    2×atan(2.34125759943206)-π/2
    2×1.16713064952453-π/2
    2.33426129904907-1.57079632675     		φ = 0.76346497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10824152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76346497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.743321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67794 KachelY 47790 0.10824152 0.76346497 6.201782 43.743321
    Oben rechts KachelX + 1 67795 KachelY 47790 0.10828946 0.76346497 6.204529 43.743321
    Unten links KachelX 67794 KachelY + 1 47791 0.10824152 0.76343034 6.201782 43.741336
    Unten rechts KachelX + 1 67795 KachelY + 1 47791 0.10828946 0.76343034 6.204529 43.741336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76346497-0.76343034) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76346497-0.76343034) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10824152-0.10828946) × cos(0.76346497) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722444572185399 × 6371000     		do = 220.653168068756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10824152-0.10828946) × cos(0.76343034) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.722468515932916 × 6371000     		du = 220.66048110556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76346497)-sin(0.76343034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722444572185399-0.722468515932916)×R²
    abs(0.10828946-0.10824152)×2.39437475166859e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39437475166859e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39437475166859e-05×40589641000000     		ar = 48683.0143225556m²