Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67793 / 47315
↖ ↑ ↗
← N 44.678419°
E  6.199036°		 ← 217.18 m → N 44.678419°
E  6.201782°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 44.676465°
E  6.199036°		 ← 217.18 m →
47 169 m²		 N 44.676465°
E  6.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517223358154297 y=0.360988616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517223358154297 × 217)
    floor (0.517223358154297 × 131072)
    floor (67793.5)     		tx = 67793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360988616943359 × 217)
    floor (0.360988616943359 × 131072)
    floor (47315.5)     		ty = 47315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67793 / 47315 ti = "17/67793/47315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67793/47315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67793 ÷ 217
    67793 ÷ 131072     		x = 0.517219543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47315 ÷ 217
    47315 ÷ 131072     		y = 0.360984802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517219543457031 × 2 - 1) × π
    0.0344390869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10819358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360984802246094 × 2 - 1) × π
    0.278030395507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.873458247977043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10819358} λ = 0.10819358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873458247977043))-π/2
    2×atan(2.3951796727276)-π/2
    2×1.17529091864803-π/2
    2.35058183729607-1.57079632675     		φ = 0.77978551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10819358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.199036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77978551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.678419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67793 KachelY 47315 0.10819358 0.77978551 6.199036 44.678419
    Oben rechts KachelX + 1 67794 KachelY 47315 0.10824152 0.77978551 6.201782 44.678419
    Unten links KachelX 67793 KachelY + 1 47316 0.10819358 0.77975142 6.199036 44.676465
    Unten rechts KachelX + 1 67794 KachelY + 1 47316 0.10824152 0.77975142 6.201782 44.676465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77978551-0.77975142) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77978551-0.77975142) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10819358-0.10824152) × cos(0.77978551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.711064368060615 × 6371000     		do = 217.177360802529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10819358-0.10824152) × cos(0.77975142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.711088337244111 × 6371000     		du = 217.184681608136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77978551)-sin(0.77975142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711064368060615-0.711088337244111)×R²
    abs(0.10824152-0.10819358)×2.39691834962308e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39691834962308e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39691834962308e-05×40589641000000     		ar = 47168.9791575803m²