Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67792 / 47761
↖ ↑ ↗
← N 43.800836°
E  6.196289°		 ← 220.40 m → N 43.800836°
E  6.199036°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
N 43.798854°
E  6.196289°		 ← 220.40 m →
48 584 m²		 N 43.798854°
E  6.199036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517215728759766 y=0.364391326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517215728759766 × 217)
    floor (0.517215728759766 × 131072)
    floor (67792.5)     		tx = 67792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364391326904297 × 217)
    floor (0.364391326904297 × 131072)
    floor (47761.5)     		ty = 47761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67792 / 47761 ti = "17/67792/47761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67792/47761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67792 ÷ 217
    67792 ÷ 131072     		x = 0.5172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47761 ÷ 217
    47761 ÷ 131072     		y = 0.364387512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5172119140625 × 2 - 1) × π
    0.034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10814565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364387512207031 × 2 - 1) × π
    0.271224975585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.852078390746498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10814565} λ = 0.10814565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852078390746498))-π/2
    2×atan(2.34451460909156)-π/2
    2×1.16763256859482-π/2
    2.33526513718963-1.57079632675     		φ = 0.76446881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10814565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76446881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.800836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67792 KachelY 47761 0.10814565 0.76446881 6.196289 43.800836
    Oben rechts KachelX + 1 67793 KachelY 47761 0.10819358 0.76446881 6.199036 43.800836
    Unten links KachelX 67792 KachelY + 1 47762 0.10814565 0.76443421 6.196289 43.798854
    Unten rechts KachelX + 1 67793 KachelY + 1 47762 0.10819358 0.76443421 6.199036 43.798854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76446881-0.76443421) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76446881-0.76443421) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10814565-0.10819358) × cos(0.76446881) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721750124373937 × 6371000     		do = 220.395083131585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10814565-0.10819358) × cos(0.76443421) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721774072460265 × 6371000     		du = 220.402395967841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76446881)-sin(0.76443421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721750124373937-0.721774072460265)×R²
    abs(0.10819358-0.10814565)×2.39480863284403e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39480863284403e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39480863284403e-05×40589641000000     		ar = 48583.948795654m²