Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67791 / 47343
↖ ↑ ↗
← N 44.623709°
E  6.193543°		 ← 217.38 m → N 44.623709°
E  6.196289°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
N 44.621754°
E  6.193543°		 ← 217.39 m →
47 255 m²		 N 44.621754°
E  6.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517208099365234 y=0.361202239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517208099365234 × 217)
    floor (0.517208099365234 × 131072)
    floor (67791.5)     		tx = 67791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361202239990234 × 217)
    floor (0.361202239990234 × 131072)
    floor (47343.5)     		ty = 47343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67791 / 47343 ti = "17/67791/47343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67791/47343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67791 ÷ 217
    67791 ÷ 131072     		x = 0.517204284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47343 ÷ 217
    47343 ÷ 131072     		y = 0.361198425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517204284667969 × 2 - 1) × π
    0.0344085693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10809771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361198425292969 × 2 - 1) × π
    0.277603149414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.872116014787682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10809771} λ = 0.10809771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.872116014787682))-π/2
    2×atan(2.39196693967719)-π/2
    2×1.1748134863681-π/2
    2.34962697273621-1.57079632675     		φ = 0.77883065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10809771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.193543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77883065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.623709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67791 KachelY 47343 0.10809771 0.77883065 6.193543 44.623709
    Oben rechts KachelX + 1 67792 KachelY 47343 0.10814565 0.77883065 6.196289 44.623709
    Unten links KachelX 67791 KachelY + 1 47344 0.10809771 0.77879653 6.193543 44.621754
    Unten rechts KachelX + 1 67792 KachelY + 1 47344 0.10814565 0.77879653 6.196289 44.621754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77883065-0.77879653) × R
    3.41199999999153e-05 × 6371000     		dl = 217.378519999461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77883065-0.77879653) × R
    3.41199999999153e-05 × 6371000     		dr = 217.378519999461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10809771-0.10814565) × cos(0.77883065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.711735431569486 × 6371000     		do = 217.382320871313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10809771-0.10814565) × cos(0.77879653) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.711759398668387 × 6371000     		du = 217.38964104023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77883065)-sin(0.77879653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711735431569486-0.711759398668387)×R²
    abs(0.10814565-0.10809771)×2.39670989008456e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39670989008456e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39670989008456e-05×40589641000000     		ar = 47255.0428134012m²