Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67790 / 68430
↖ ↑ ↗
← S  7.923234°
E  6.190796°		 ← 302.51 m → S  7.923234°
E  6.193543°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.925954°
E  6.190796°		 ← 302.51 m →
91 507 m²		 S  7.925954°
E  6.193543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517200469970703 y=0.522083282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517200469970703 × 217)
    floor (0.517200469970703 × 131072)
    floor (67790.5)     		tx = 67790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522083282470703 × 217)
    floor (0.522083282470703 × 131072)
    floor (68430.5)     		ty = 68430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67790 / 68430 ti = "17/67790/68430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67790/68430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67790 ÷ 217
    67790 ÷ 131072     		x = 0.517196655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68430 ÷ 217
    68430 ÷ 131072     		y = 0.522079467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517196655273438 × 2 - 1) × π
    0.034393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10804977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522079467773438 × 2 - 1) × π
    -0.044158935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.138729387500443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10804977} λ = 0.10804977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138729387500443))-π/2
    2×atan(0.870463554906981)-π/2
    2×0.716254902060776-π/2
    1.43250980412155-1.57079632675     		φ = -0.13828652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10804977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13828652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.923234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67790 KachelY 68430 0.10804977 -0.13828652 6.190796 -7.923234
    Oben rechts KachelX + 1 67791 KachelY 68430 0.10809771 -0.13828652 6.193543 -7.923234
    Unten links KachelX 67790 KachelY + 1 68431 0.10804977 -0.13833400 6.190796 -7.925954
    Unten rechts KachelX + 1 67791 KachelY + 1 68431 0.10809771 -0.13833400 6.193543 -7.925954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13828652--0.13833400) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13828652--0.13833400) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10804977-0.10809771) × cos(-0.13828652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990453646788201 × 6371000     		do = 302.510038005962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10804977-0.10809771) × cos(-0.13833400) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990447100734435 × 6371000     		du = 302.508038672646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13828652)-sin(-0.13833400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990453646788201-0.990447100734435)×R²
    abs(0.10809771-0.10804977)×6.54605376604334e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.54605376604334e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.54605376604334e-06×40589641000000     		ar = 91507.495770416m²