Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67790 / 47283
↖ ↑ ↗
← N 44.740881°
E  6.190796°		 ← 216.94 m → N 44.740881°
E  6.193543°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 44.738930°
E  6.190796°		 ← 216.95 m →
47 063 m²		 N 44.738930°
E  6.193543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517200469970703 y=0.360744476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517200469970703 × 217)
    floor (0.517200469970703 × 131072)
    floor (67790.5)     		tx = 67790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360744476318359 × 217)
    floor (0.360744476318359 × 131072)
    floor (47283.5)     		ty = 47283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67790 / 47283 ti = "17/67790/47283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67790/47283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67790 ÷ 217
    67790 ÷ 131072     		x = 0.517196655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47283 ÷ 217
    47283 ÷ 131072     		y = 0.360740661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517196655273438 × 2 - 1) × π
    0.034393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10804977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360740661621094 × 2 - 1) × π
    0.278518676757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.874992228764885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10804977} λ = 0.10804977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874992228764885))-π/2
    2×atan(2.39885665181561)-π/2
    2×1.17583600406664-π/2
    2.35167200813328-1.57079632675     		φ = 0.78087568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10804977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78087568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.740881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67790 KachelY 47283 0.10804977 0.78087568 6.190796 44.740881
    Oben rechts KachelX + 1 67791 KachelY 47283 0.10809771 0.78087568 6.193543 44.740881
    Unten links KachelX 67790 KachelY + 1 47284 0.10804977 0.78084163 6.190796 44.738930
    Unten rechts KachelX + 1 67791 KachelY + 1 47284 0.10809771 0.78084163 6.193543 44.738930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78087568-0.78084163) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78087568-0.78084163) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10804977-0.10809771) × cos(0.78087568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71029741779945 × 6371000     		do = 216.943114451469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10804977-0.10809771) × cos(0.78084163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710321385239965 × 6371000     		du = 216.950434724725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78087568)-sin(0.78084163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71029741779945-0.710321385239965)×R²
    abs(0.10809771-0.10804977)×2.39674405154711e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39674405154711e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39674405154711e-05×40589641000000     		ar = 47062.8170302661m²