Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6779 / 6261
↖ ↑ ↗
← S 68.479925°
E117.905274°		 ← 1 792.50 m → S 68.479925°
E117.949219°		 →
↑
1 791.91 m
↓
↑
1 791.91 m
↓
S 68.496040°
E117.905274°		 ← 1 791.22 m →
3 210 846 m²		 S 68.496040°
E117.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82757568359375 y=0.76434326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82757568359375 × 213)
    floor (0.82757568359375 × 8192)
    floor (6779.5)     		tx = 6779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76434326171875 × 213)
    floor (0.76434326171875 × 8192)
    floor (6261.5)     		ty = 6261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6779 / 6261 ti = "13/6779/6261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6779/6261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6779 ÷ 213
    6779 ÷ 8192     		x = 0.8275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6261 ÷ 213
    6261 ÷ 8192     		y = 0.7642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8275146484375 × 2 - 1) × π
    0.655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05783523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66053420283875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05783523} λ = 2.05783523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66053420283875))-π/2
    2×atan(0.190037434443998)-π/2
    2×0.187798076411293-π/2
    0.375596152822586-1.57079632675     		φ = -1.19520017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05783523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.905274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19520017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.479925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6779 KachelY 6261 2.05783523 -1.19520017 117.905274 -68.479925
    Oben rechts KachelX + 1 6780 KachelY 6261 2.05860222 -1.19520017 117.949219 -68.479925
    Unten links KachelX 6779 KachelY + 1 6262 2.05783523 -1.19548143 117.905274 -68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 6780 KachelY + 1 6262 2.05860222 -1.19548143 117.949219 -68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19520017--1.19548143) × R
    0.000281260000000172 × 6371000     		dl = 1791.9074600011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19520017--1.19548143) × R
    0.000281260000000172 × 6371000     		dr = 1791.9074600011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05783523-2.05860222) × cos(-1.19520017) × R
    0.000766990000000245 × 0.366827192407533 × 6371000     		do = 1792.49861428952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05783523-2.05860222) × cos(-1.19548143) × R
    0.000766990000000245 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 1791.21997722824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19520017)-sin(-1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366827192407533-0.366565524789182)×R²
    abs(2.05860222-2.05783523)×0.000261667618351336×R²
    0.000766990000000245×0.000261667618351336×6371000²
    0.000766990000000245×0.000261667618351336×40589641000000     		ar = 3210846.06051114m²