Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67788 / 68436
↖ ↑ ↗
← S  7.939556°
E  6.185303°		 ← 302.43 m → S  7.939556°
E  6.188049°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.942276°
E  6.185303°		 ← 302.43 m →
91 485 m²		 S  7.942276°
E  6.188049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517185211181641 y=0.522129058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517185211181641 × 217)
    floor (0.517185211181641 × 131072)
    floor (67788.5)     		tx = 67788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522129058837891 × 217)
    floor (0.522129058837891 × 131072)
    floor (68436.5)     		ty = 68436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67788 / 68436 ti = "17/67788/68436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67788/68436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67788 ÷ 217
    67788 ÷ 131072     		x = 0.517181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68436 ÷ 217
    68436 ÷ 131072     		y = 0.522125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517181396484375 × 2 - 1) × π
    0.03436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10795390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.04425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.139017008898163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10795390} λ = 0.10795390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139017008898163))-π/2
    2×atan(0.870213226964216)-π/2
    2×0.716112467055238-π/2
    1.43222493411048-1.57079632675     		φ = -0.13857139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10795390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.185303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13857139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.939556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67788 KachelY 68436 0.10795390 -0.13857139 6.185303 -7.939556
    Oben rechts KachelX + 1 67789 KachelY 68436 0.10800183 -0.13857139 6.188049 -7.939556
    Unten links KachelX 67788 KachelY + 1 68437 0.10795390 -0.13861887 6.185303 -7.942276
    Unten rechts KachelX + 1 67789 KachelY + 1 68437 0.10800183 -0.13861887 6.188049 -7.942276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13857139--0.13861887) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13857139--0.13861887) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10795390-0.10800183) × cos(-0.13857139) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.990414338354961 × 6371000     		do = 302.4349329011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10795390-0.10800183) × cos(-0.13861887) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.990407778904997 × 6371000     		du = 302.432929894144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13857139)-sin(-0.13861887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990414338354961-0.990407778904997)×R²
    abs(0.10800183-0.10795390)×6.55944996319491e-06×R²
    4.79299999999877e-05×6.55944996319491e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×6.55944996319491e-06×40589641000000     		ar = 91484.7762900573m²