Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67787 / 68432
↖ ↑ ↗
← S  7.928675°
E  6.182556°		 ← 302.51 m → S  7.928675°
E  6.185303°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.931395°
E  6.182556°		 ← 302.50 m →
91 506 m²		 S  7.931395°
E  6.185303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517177581787109 y=0.522098541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517177581787109 × 217)
    floor (0.517177581787109 × 131072)
    floor (67787.5)     		tx = 67787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522098541259766 × 217)
    floor (0.522098541259766 × 131072)
    floor (68432.5)     		ty = 68432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67787 / 68432 ti = "17/67787/68432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67787/68432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67787 ÷ 217
    67787 ÷ 131072     		x = 0.517173767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68432 ÷ 217
    68432 ÷ 131072     		y = 0.5220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517173767089844 × 2 - 1) × π
    0.0343475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10790596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.138825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10790596} λ = 0.10790596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138825261299683))-π/2
    2×atan(0.870380104259301)-π/2
    2×0.716207423097558-π/2
    1.43241484619512-1.57079632675     		φ = -0.13838148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10790596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.182556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13838148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.928675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67787 KachelY 68432 0.10790596 -0.13838148 6.182556 -7.928675
    Oben rechts KachelX + 1 67788 KachelY 68432 0.10795390 -0.13838148 6.185303 -7.928675
    Unten links KachelX 67787 KachelY + 1 68433 0.10790596 -0.13842896 6.182556 -7.931395
    Unten rechts KachelX + 1 67788 KachelY + 1 68433 0.10795390 -0.13842896 6.185303 -7.931395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13838148--0.13842896) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13838148--0.13842896) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10790596-0.10795390) × cos(-0.13838148) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990440552447854 × 6371000     		do = 302.506038657459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10790596-0.10795390) × cos(-0.13842896) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990434001928473 × 6371000     		du = 302.50403796023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13838148)-sin(-0.13842896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990440552447854-0.990434001928473)×R²
    abs(0.10795390-0.10790596)×6.55051938103224e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.55051938103224e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.55051938103224e-06×40589641000000     		ar = 91506.2857808431m²