Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67786 / 68431
↖ ↑ ↗
← S  7.925954°
E  6.179809°		 ← 302.51 m → S  7.925954°
E  6.182556°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.928675°
E  6.179809°		 ← 302.51 m →
91 507 m²		 S  7.928675°
E  6.182556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517169952392578 y=0.522090911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517169952392578 × 217)
    floor (0.517169952392578 × 131072)
    floor (67786.5)     		tx = 67786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522090911865234 × 217)
    floor (0.522090911865234 × 131072)
    floor (68431.5)     		ty = 68431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67786 / 68431 ti = "17/67786/68431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67786/68431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67786 ÷ 217
    67786 ÷ 131072     		x = 0.517166137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68431 ÷ 217
    68431 ÷ 131072     		y = 0.522087097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517166137695312 × 2 - 1) × π
    0.034332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10785802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522087097167969 × 2 - 1) × π
    -0.0441741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.138777324400063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10785802} λ = 0.10785802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138777324400063))-π/2
    2×atan(0.87042182858305)-π/2
    2×0.716231162500706-π/2
    1.43246232500141-1.57079632675     		φ = -0.13833400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10785802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.179809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13833400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.925954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67786 KachelY 68431 0.10785802 -0.13833400 6.179809 -7.925954
    Oben rechts KachelX + 1 67787 KachelY 68431 0.10790596 -0.13833400 6.182556 -7.925954
    Unten links KachelX 67786 KachelY + 1 68432 0.10785802 -0.13838148 6.179809 -7.928675
    Unten rechts KachelX + 1 67787 KachelY + 1 68432 0.10790596 -0.13838148 6.182556 -7.928675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13833400--0.13838148) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13833400--0.13838148) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10785802-0.10790596) × cos(-0.13833400) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990447100734435 × 6371000     		do = 302.508038672646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10785802-0.10790596) × cos(-0.13838148) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990440552447854 × 6371000     		du = 302.506038657371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13833400)-sin(-0.13838148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990447100734435-0.990440552447854)×R²
    abs(0.10790596-0.10785802)×6.54828658086526e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.54828658086526e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.54828658086526e-06×40589641000000     		ar = 91506.8908786648m²