Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67786 / 45034
↖ ↑ ↗
← N 48.962187°
E  6.179809°		 ← 200.53 m → N 48.962187°
E  6.182556°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 48.960384°
E  6.179809°		 ← 200.54 m →
40 219 m²		 N 48.960384°
E  6.182556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517169952392578 y=0.343585968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517169952392578 × 217)
    floor (0.517169952392578 × 131072)
    floor (67786.5)     		tx = 67786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343585968017578 × 217)
    floor (0.343585968017578 × 131072)
    floor (45034.5)     		ty = 45034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67786 / 45034 ti = "17/67786/45034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67786/45034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67786 ÷ 217
    67786 ÷ 131072     		x = 0.517166137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45034 ÷ 217
    45034 ÷ 131072     		y = 0.343582153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517166137695312 × 2 - 1) × π
    0.034332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10785802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343582153320312 × 2 - 1) × π
    0.312835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.982802316010391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10785802} λ = 0.10785802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982802316010391))-π/2
    2×atan(2.67193336204874)-π/2
    2×1.21267385267993-π/2
    2.42534770535986-1.57079632675     		φ = 0.85455138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10785802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.179809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85455138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.962187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67786 KachelY 45034 0.10785802 0.85455138 6.179809 48.962187
    Oben rechts KachelX + 1 67787 KachelY 45034 0.10790596 0.85455138 6.182556 48.962187
    Unten links KachelX 67786 KachelY + 1 45035 0.10785802 0.85451990 6.179809 48.960384
    Unten rechts KachelX + 1 67787 KachelY + 1 45035 0.10790596 0.85451990 6.182556 48.960384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85455138-0.85451990) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dl = 200.559079999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85455138-0.85451990) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dr = 200.559079999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10785802-0.10790596) × cos(0.85455138) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.656556959296605 × 6371000     		do = 200.5293951453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10785802-0.10790596) × cos(0.85451990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.656580703593846 × 6371000     		du = 200.536647264856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85455138)-sin(0.85451990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656556959296605-0.656580703593846)×R²
    abs(0.10790596-0.10785802)×2.37442972413904e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37442972413904e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37442972413904e-05×40589641000000     		ar = 40218.7182458547m²