Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67785 / 45033
↖ ↑ ↗
← N 48.963991°
E  6.177063°		 ← 200.48 m → N 48.963991°
E  6.179809°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
N 48.962187°
E  6.177063°		 ← 200.49 m →
40 196 m²		 N 48.962187°
E  6.179809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517162322998047 y=0.343578338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517162322998047 × 217)
    floor (0.517162322998047 × 131072)
    floor (67785.5)     		tx = 67785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343578338623047 × 217)
    floor (0.343578338623047 × 131072)
    floor (45033.5)     		ty = 45033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67785 / 45033 ti = "17/67785/45033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67785/45033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67785 ÷ 217
    67785 ÷ 131072     		x = 0.517158508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45033 ÷ 217
    45033 ÷ 131072     		y = 0.343574523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517158508300781 × 2 - 1) × π
    0.0343170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10781009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343574523925781 × 2 - 1) × π
    0.312850952148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.982850252910011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10781009} λ = 0.10781009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982850252910011))-π/2
    2×atan(2.67206144932013)-π/2
    2×1.21268958904798-π/2
    2.42537917809597-1.57079632675     		φ = 0.85458285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10781009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.177063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85458285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.963991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67785 KachelY 45033 0.10781009 0.85458285 6.177063 48.963991
    Oben rechts KachelX + 1 67786 KachelY 45033 0.10785802 0.85458285 6.179809 48.963991
    Unten links KachelX 67785 KachelY + 1 45034 0.10781009 0.85455138 6.177063 48.962187
    Unten rechts KachelX + 1 67786 KachelY + 1 45034 0.10785802 0.85455138 6.179809 48.962187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85458285-0.85455138) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85458285-0.85455138) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10781009-0.10785802) × cos(0.85458285) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.656533221891693 × 6371000     		do = 200.480317399294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10781009-0.10785802) × cos(0.85455138) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.656556959296605 × 6371000     		du = 200.487565901445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85458285)-sin(0.85455138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656533221891693-0.656556959296605)×R²
    abs(0.10785802-0.10781009)×2.37374049120165e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37374049120165e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37374049120165e-05×40589641000000     		ar = 40196.1020635673m²