Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67780 / 68417
↖ ↑ ↗
← S  7.887868°
E  6.163330°		 ← 302.54 m → S  7.887868°
E  6.166077°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.890589°
E  6.163330°		 ← 302.53 m →
91 515 m²		 S  7.890589°
E  6.166077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517124176025391 y=0.521984100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517124176025391 × 217)
    floor (0.517124176025391 × 131072)
    floor (67780.5)     		tx = 67780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521984100341797 × 217)
    floor (0.521984100341797 × 131072)
    floor (68417.5)     		ty = 68417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67780 / 68417 ti = "17/67780/68417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67780/68417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67780 ÷ 217
    67780 ÷ 131072     		x = 0.517120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68417 ÷ 217
    68417 ÷ 131072     		y = 0.521980285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517120361328125 × 2 - 1) × π
    0.03424072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10757040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521980285644531 × 2 - 1) × π
    -0.0439605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.138106207805382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10757040} λ = 0.10757040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138106207805382))-π/2
    2×atan(0.871006179178342)-π/2
    2×0.716563530597714-π/2
    1.43312706119543-1.57079632675     		φ = -0.13766927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10757040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13766927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.887868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67780 KachelY 68417 0.10757040 -0.13766927 6.163330 -7.887868
    Oben rechts KachelX + 1 67781 KachelY 68417 0.10761834 -0.13766927 6.166077 -7.887868
    Unten links KachelX 67780 KachelY + 1 68418 0.10757040 -0.13771675 6.163330 -7.890589
    Unten rechts KachelX + 1 67781 KachelY + 1 68418 0.10761834 -0.13771675 6.166077 -7.890589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13766927--0.13771675) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dl = 302.495079999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13766927--0.13771675) × R
    4.74799999999886e-05 × 6371000     		dr = 302.495079999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10757040-0.10761834) × cos(-0.13766927) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990538543666652 × 6371000     		do = 302.535967697974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10757040-0.10761834) × cos(-0.13771675) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.99053202664129 × 6371000     		du = 302.53397723068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13766927)-sin(-0.13771675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990538543666652-0.99053202664129)×R²
    abs(0.10761834-0.10757040)×6.51702536214049e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.51702536214049e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.51702536214049e-06×40589641000000     		ar = 91515.3407155806m²