Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6778 / 2654
↖ ↑ ↗
← N 53.383329°
E117.861328°		 ← 2 914.59 m → N 53.383329°
E117.905274°		 →
↑
2 915.50 m
↓
↑
2 915.50 m
↓
N 53.357109°
E117.861328°		 ← 2 916.38 m →
8 500 095 m²		 N 53.357109°
E117.905274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82745361328125 y=0.32403564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82745361328125 × 213)
    floor (0.82745361328125 × 8192)
    floor (6778.5)     		tx = 6778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32403564453125 × 213)
    floor (0.32403564453125 × 8192)
    floor (2654.5)     		ty = 2654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6778 / 2654 ti = "13/6778/2654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6778/2654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6778 ÷ 213
    6778 ÷ 8192     		x = 0.827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2654 ÷ 213
    2654 ÷ 8192     		y = 0.323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827392578125 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05706824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323974609375 × 2 - 1) × π
    0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05706824} λ = 2.05706824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10600014803394))-π/2
    2×atan(3.02224565078582)-π/2
    2×1.25125558623173-π/2
    2.50251117246345-1.57079632675     		φ = 0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05706824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6778 KachelY 2654 2.05706824 0.93171485 117.861328 53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 6779 KachelY 2654 2.05783523 0.93171485 117.905274 53.383329
    Unten links KachelX 6778 KachelY + 1 2655 2.05706824 0.93125723 117.861328 53.357109
    Unten rechts KachelX + 1 6779 KachelY + 1 2655 2.05783523 0.93125723 117.905274 53.357109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93171485-0.93125723) × R
    0.000457619999999936 × 6371000     		dl = 2915.4970199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93171485-0.93125723) × R
    0.000457619999999936 × 6371000     		dr = 2915.4970199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05706824-2.05783523) × cos(0.93171485) × R
    0.000766989999999801 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 2914.59019403111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05706824-2.05783523) × cos(0.93125723) × R
    0.000766989999999801 × 0.596825689438233 × 6371000     		du = 2916.38472673879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93171485)-sin(0.93125723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.596825689438233)×R²
    abs(2.05783523-2.05706824)×0.000367243460939637×R²
    0.000766989999999801×0.000367243460939637×6371000²
    0.000766989999999801×0.000367243460939637×40589641000000     		ar = 8500095.15093649m²