Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6778 / 1597
↖ ↑ ↗
← N 80.883277°
W 31.069336°		 ← 387.13 m → N 80.883277°
W 31.047363°		 →
↑
387.17 m
↓
↑
387.17 m
↓
N 80.879796°
W 31.069336°		 ← 387.27 m →
149 911 m²		 N 80.879796°
W 31.047363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413726806640625 y=0.097503662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413726806640625 × 214)
    floor (0.413726806640625 × 16384)
    floor (6778.5)     		tx = 6778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097503662109375 × 214)
    floor (0.097503662109375 × 16384)
    floor (1597.5)     		ty = 1597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6778 / 1597 ti = "14/6778/1597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6778/1597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6778 ÷ 214
    6778 ÷ 16384     		x = 0.4136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1597 ÷ 214
    1597 ÷ 16384     		y = 0.09747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54226221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09747314453125 × 2 - 1) × π
    0.8050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52915082395416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54226221} λ = -0.54226221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52915082395416))-π/2
    2×atan(12.5428505248512)-π/2
    2×1.49123791539126-π/2
    2.98247583078251-1.57079632675     		φ = 1.41167950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54226221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41167950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.883277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6778 KachelY 1597 -0.54226221 1.41167950 -31.069336 80.883277
    Oben rechts KachelX + 1 6779 KachelY 1597 -0.54187871 1.41167950 -31.047363 80.883277
    Unten links KachelX 6778 KachelY + 1 1598 -0.54226221 1.41161873 -31.069336 80.879796
    Unten rechts KachelX + 1 6779 KachelY + 1 1598 -0.54187871 1.41161873 -31.047363 80.879796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41167950-1.41161873) × R
    6.07699999999323e-05 × 6371000     		dl = 387.165669999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41167950-1.41161873) × R
    6.07699999999323e-05 × 6371000     		dr = 387.165669999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54226221--0.54187871) × cos(1.41167950) × R
    0.000383499999999981 × 0.158446251909876 × 6371000     		do = 387.128320696964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54226221--0.54187871) × cos(1.41161873) × R
    0.000383499999999981 × 0.158506253946558 × 6371000     		du = 387.274922383147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41167950)-sin(1.41161873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158446251909876-0.158506253946558)×R²
    abs(-0.54187871--0.54226221)×6.00020366822995e-05×R²
    0.000383499999999981×6.00020366822995e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.00020366822995e-05×40589641000000     		ar = 149911.175274701m²