Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67778 / 47738
↖ ↑ ↗
← N 43.846413°
E  6.157837°		 ← 220.27 m → N 43.846413°
E  6.160584°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
N 43.844432°
E  6.157837°		 ← 220.28 m →
48 515 m²		 N 43.844432°
E  6.160584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517108917236328 y=0.364215850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517108917236328 × 217)
    floor (0.517108917236328 × 131072)
    floor (67778.5)     		tx = 67778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364215850830078 × 217)
    floor (0.364215850830078 × 131072)
    floor (47738.5)     		ty = 47738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67778 / 47738 ti = "17/67778/47738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67778/47738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67778 ÷ 217
    67778 ÷ 131072     		x = 0.517105102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47738 ÷ 217
    47738 ÷ 131072     		y = 0.364212036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517105102539062 × 2 - 1) × π
    0.034210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10747453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364212036132812 × 2 - 1) × π
    0.271575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.853180939437759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10747453} λ = 0.10747453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.853180939437759))-π/2
    2×atan(2.34710097614126)-π/2
    2×1.16803029910025-π/2
    2.33606059820049-1.57079632675     		φ = 0.76526427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10747453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.157837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76526427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.846413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67778 KachelY 47738 0.10747453 0.76526427 6.157837 43.846413
    Oben rechts KachelX + 1 67779 KachelY 47738 0.10752247 0.76526427 6.160584 43.846413
    Unten links KachelX 67778 KachelY + 1 47739 0.10747453 0.76522970 6.157837 43.844432
    Unten rechts KachelX + 1 67779 KachelY + 1 47739 0.10752247 0.76522970 6.160584 43.844432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76526427-0.76522970) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dl = 220.24546999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76526427-0.76522970) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dr = 220.24546999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10747453-0.10752247) × cos(0.76526427) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721199315495948 × 6371000     		do = 220.272834622826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10747453-0.10752247) × cos(0.76522970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721223262658615 × 6371000     		du = 220.280148702705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76526427)-sin(0.76522970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721199315495948-0.721223262658615)×R²
    abs(0.10752247-0.10747453)×2.39471626671817e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39471626671817e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39471626671817e-05×40589641000000     		ar = 48514.8994409029m²