Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67774 / 68546
↖ ↑ ↗
← S  8.238674°
E  6.146851°		 ← 302.27 m → S  8.238674°
E  6.149597°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.241392°
E  6.146851°		 ← 302.27 m →
91 359 m²		 S  8.241392°
E  6.149597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517078399658203 y=0.522968292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517078399658203 × 217)
    floor (0.517078399658203 × 131072)
    floor (67774.5)     		tx = 67774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522968292236328 × 217)
    floor (0.522968292236328 × 131072)
    floor (68546.5)     		ty = 68546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67774 / 68546 ti = "17/67774/68546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67774/68546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67774 ÷ 217
    67774 ÷ 131072     		x = 0.517074584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68546 ÷ 217
    68546 ÷ 131072     		y = 0.522964477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517074584960938 × 2 - 1) × π
    0.034149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10728278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522964477539062 × 2 - 1) × π
    -0.045928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.144290067856369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10728278} λ = 0.10728278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144290067856369))-π/2
    2×atan(0.865636618280368)-π/2
    2×0.713502173051063-π/2
    1.42700434610213-1.57079632675     		φ = -0.14379198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10728278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14379198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.238674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67774 KachelY 68546 0.10728278 -0.14379198 6.146851 -8.238674
    Oben rechts KachelX + 1 67775 KachelY 68546 0.10733072 -0.14379198 6.149597 -8.238674
    Unten links KachelX 67774 KachelY + 1 68547 0.10728278 -0.14383942 6.146851 -8.241392
    Unten rechts KachelX + 1 67775 KachelY + 1 68547 0.10733072 -0.14383942 6.149597 -8.241392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14379198--0.14383942) × R
    4.74399999999819e-05 × 6371000     		dl = 302.240239999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14379198--0.14383942) × R
    4.74399999999819e-05 × 6371000     		dr = 302.240239999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10728278-0.10733072) × cos(-0.14379198) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989679733575888 × 6371000     		do = 302.273664990483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10728278-0.10733072) × cos(-0.14383942) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989672934453418 × 6371000     		du = 302.271588363471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14379198)-sin(-0.14383942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989679733575888-0.989672934453418)×R²
    abs(0.10733072-0.10728278)×6.79912247036896e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.79912247036896e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.79912247036896e-06×40589641000000     		ar = 91358.9512493769m²