Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67774 / 47733
↖ ↑ ↗
← N 43.856316°
E  6.146851°		 ← 220.24 m → N 43.856316°
E  6.149597°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
N 43.854336°
E  6.146851°		 ← 220.24 m →
48 507 m²		 N 43.854336°
E  6.149597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517078399658203 y=0.364177703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517078399658203 × 217)
    floor (0.517078399658203 × 131072)
    floor (67774.5)     		tx = 67774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364177703857422 × 217)
    floor (0.364177703857422 × 131072)
    floor (47733.5)     		ty = 47733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67774 / 47733 ti = "17/67774/47733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67774/47733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67774 ÷ 217
    67774 ÷ 131072     		x = 0.517074584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47733 ÷ 217
    47733 ÷ 131072     		y = 0.364173889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517074584960938 × 2 - 1) × π
    0.034149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10728278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364173889160156 × 2 - 1) × π
    0.271652221679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.85342062393586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10728278} λ = 0.10728278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85342062393586))-π/2
    2×atan(2.347663607285)-π/2
    2×1.16811672207282-π/2
    2.33623344414564-1.57079632675     		φ = 0.76543712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10728278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76543712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.856316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67774 KachelY 47733 0.10728278 0.76543712 6.146851 43.856316
    Oben rechts KachelX + 1 67775 KachelY 47733 0.10733072 0.76543712 6.149597 43.856316
    Unten links KachelX 67774 KachelY + 1 47734 0.10728278 0.76540255 6.146851 43.854336
    Unten rechts KachelX + 1 67775 KachelY + 1 47734 0.10733072 0.76540255 6.149597 43.854336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76543712-0.76540255) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dl = 220.24546999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76543712-0.76540255) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dr = 220.24546999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10728278-0.10733072) × cos(0.76543712) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.721079566754767 × 6371000     		do = 220.236260275001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10728278-0.10733072) × cos(0.76540255) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.721103518226621 × 6371000     		du = 220.243575671016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76543712)-sin(0.76540255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721079566754767-0.721103518226621)×R²
    abs(0.10733072-0.10728278)×2.39514718530787e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39514718530787e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39514718530787e-05×40589641000000     		ar = 48506.8442515864m²