Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67772 / 47730
↖ ↑ ↗
← N 43.862257°
E  6.141358°		 ← 220.17 m → N 43.862257°
E  6.144104°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 43.860277°
E  6.141358°		 ← 220.18 m →
48 478 m²		 N 43.860277°
E  6.144104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517063140869141 y=0.364154815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517063140869141 × 217)
    floor (0.517063140869141 × 131072)
    floor (67772.5)     		tx = 67772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364154815673828 × 217)
    floor (0.364154815673828 × 131072)
    floor (47730.5)     		ty = 47730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67772 / 47730 ti = "17/67772/47730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67772/47730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67772 ÷ 217
    67772 ÷ 131072     		x = 0.517059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47730 ÷ 217
    47730 ÷ 131072     		y = 0.364151000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517059326171875 × 2 - 1) × π
    0.03411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10718691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364151000976562 × 2 - 1) × π
    0.271697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.85356443463472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10718691} λ = 0.10718691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85356443463472))-π/2
    2×atan(2.34800125070684)-π/2
    2×1.16816856896803-π/2
    2.33633713793606-1.57079632675     		φ = 0.76554081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10718691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76554081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.862257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67772 KachelY 47730 0.10718691 0.76554081 6.141358 43.862257
    Oben rechts KachelX + 1 67773 KachelY 47730 0.10723484 0.76554081 6.144104 43.862257
    Unten links KachelX 67772 KachelY + 1 47731 0.10718691 0.76550625 6.141358 43.860277
    Unten rechts KachelX + 1 67773 KachelY + 1 47731 0.10723484 0.76550625 6.144104 43.860277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76554081-0.76550625) × R
    3.45599999999058e-05 × 6371000     		dl = 220.1817599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76554081-0.76550625) × R
    3.45599999999058e-05 × 6371000     		dr = 220.1817599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10718691-0.10723484) × cos(0.76554081) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721007721027356 × 6371000     		do = 220.168381338594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10718691-0.10723484) × cos(0.76550625) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721031668154857 × 6371000     		du = 220.175693882061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76554081)-sin(0.76550625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721007721027356-0.721031668154857)×R²
    abs(0.10723484-0.10718691)×2.39471275014225e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39471275014225e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39471275014225e-05×40589641000000     		ar = 48477.8667486728m²