Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67771 / 69607
↖ ↑ ↗
← S 11.111032°
E  6.138611°		 ← 299.70 m → S 11.111032°
E  6.141358°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
S 11.113727°
E  6.138611°		 ← 299.70 m →
89 798 m²		 S 11.113727°
E  6.141358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517055511474609 y=0.531063079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517055511474609 × 217)
    floor (0.517055511474609 × 131072)
    floor (67771.5)     		tx = 67771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531063079833984 × 217)
    floor (0.531063079833984 × 131072)
    floor (69607.5)     		ty = 69607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67771 / 69607 ti = "17/67771/69607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67771/69607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67771 ÷ 217
    67771 ÷ 131072     		x = 0.517051696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69607 ÷ 217
    69607 ÷ 131072     		y = 0.531059265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517051696777344 × 2 - 1) × π
    0.0341033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10713897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531059265136719 × 2 - 1) × π
    -0.0621185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.195151118353249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10713897} λ = 0.10713897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195151118353249))-π/2
    2×atan(0.822710322032461)-π/2
    2×0.68843611584525-π/2
    1.3768722316905-1.57079632675     		φ = -0.19392410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10713897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.138611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19392410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.111032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67771 KachelY 69607 0.10713897 -0.19392410 6.138611 -11.111032
    Oben rechts KachelX + 1 67772 KachelY 69607 0.10718691 -0.19392410 6.141358 -11.111032
    Unten links KachelX 67771 KachelY + 1 69608 0.10713897 -0.19397113 6.138611 -11.113727
    Unten rechts KachelX + 1 67772 KachelY + 1 69608 0.10718691 -0.19397113 6.141358 -11.113727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19392410--0.19397113) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19392410--0.19397113) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10713897-0.10718691) × cos(-0.19392410) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98125557511321 × 6371000     		do = 299.700710158055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10713897-0.10718691) × cos(-0.19397113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981246510833756 × 6371000     		du = 299.697941693795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19392410)-sin(-0.19397113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98125557511321-0.981246510833756)×R²
    abs(0.10718691-0.10713897)×9.06427945490673e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.06427945490673e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.06427945490673e-06×40589641000000     		ar = 89798.3486059905m²