Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67771 / 47731
↖ ↑ ↗
← N 43.860277°
E  6.138611°		 ← 220.22 m → N 43.860277°
E  6.141358°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
N 43.858297°
E  6.138611°		 ← 220.23 m →
48 504 m²		 N 43.858297°
E  6.141358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517055511474609 y=0.364162445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517055511474609 × 217)
    floor (0.517055511474609 × 131072)
    floor (67771.5)     		tx = 67771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364162445068359 × 217)
    floor (0.364162445068359 × 131072)
    floor (47731.5)     		ty = 47731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67771 / 47731 ti = "17/67771/47731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67771/47731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67771 ÷ 217
    67771 ÷ 131072     		x = 0.517051696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47731 ÷ 217
    47731 ÷ 131072     		y = 0.364158630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517051696777344 × 2 - 1) × π
    0.0341033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10713897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364158630371094 × 2 - 1) × π
    0.271682739257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.8535164977351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10713897} λ = 0.10713897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8535164977351))-π/2
    2×atan(2.34788869750432)-π/2
    2×1.16815128724366-π/2
    2.33630257448731-1.57079632675     		φ = 0.76550625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10713897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.138611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76550625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.860277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67771 KachelY 47731 0.10713897 0.76550625 6.138611 43.860277
    Oben rechts KachelX + 1 67772 KachelY 47731 0.10718691 0.76550625 6.141358 43.860277
    Unten links KachelX 67771 KachelY + 1 47732 0.10713897 0.76547168 6.138611 43.858297
    Unten rechts KachelX + 1 67772 KachelY + 1 47732 0.10718691 0.76547168 6.141358 43.858297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76550625-0.76547168) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dl = 220.245470000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76550625-0.76547168) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dr = 220.245470000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10713897-0.10718691) × cos(0.76550625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721031668154857 × 6371000     		do = 220.221630809615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10713897-0.10718691) × cos(0.76547168) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		du = 220.228946731947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76550625)-sin(0.76547168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721031668154857-0.721055621349935)×R²
    abs(0.10718691-0.10713897)×2.39531950778638e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39531950778638e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39531950778638e-05×40589641000000     		ar = 48503.6222360707m²