Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67769 / 44891
↖ ↑ ↗
← N 49.219391°
E  6.133118°		 ← 199.45 m → N 49.219391°
E  6.135864°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.217597°
E  6.133118°		 ← 199.46 m →
39 787 m²		 N 49.217597°
E  6.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517040252685547 y=0.342494964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517040252685547 × 217)
    floor (0.517040252685547 × 131072)
    floor (67769.5)     		tx = 67769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342494964599609 × 217)
    floor (0.342494964599609 × 131072)
    floor (44891.5)     		ty = 44891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67769 / 44891 ti = "17/67769/44891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67769/44891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67769 ÷ 217
    67769 ÷ 131072     		x = 0.517036437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44891 ÷ 217
    44891 ÷ 131072     		y = 0.342491149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517036437988281 × 2 - 1) × π
    0.0340728759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10704310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342491149902344 × 2 - 1) × π
    0.315017700195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.989657292656059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10704310} λ = 0.10704310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989657292656059))-π/2
    2×atan(2.69031232455376)-π/2
    2×1.21491837871244-π/2
    2.42983675742489-1.57079632675     		φ = 0.85904043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10704310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.133118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85904043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.219391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67769 KachelY 44891 0.10704310 0.85904043 6.133118 49.219391
    Oben rechts KachelX + 1 67770 KachelY 44891 0.10709103 0.85904043 6.135864 49.219391
    Unten links KachelX 67769 KachelY + 1 44892 0.10704310 0.85900912 6.133118 49.217597
    Unten rechts KachelX + 1 67770 KachelY + 1 44892 0.10709103 0.85900912 6.135864 49.217597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85904043-0.85900912) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85904043-0.85900912) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10704310-0.10709103) × cos(0.85904043) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.653164370666635 × 6371000     		do = 199.451598150443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10704310-0.10709103) × cos(0.85900912) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.65318807878428 × 6371000     		du = 199.458837709374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85904043)-sin(0.85900912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653164370666635-0.65318807878428)×R²
    abs(0.10709103-0.10704310)×2.37081176449605e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37081176449605e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37081176449605e-05×40589641000000     		ar = 39786.531049616m²