Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67768 / 69383
↖ ↑ ↗
← S 10.506716°
E  6.130371°		 ← 300.30 m → S 10.506716°
E  6.133118°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.509416°
E  6.130371°		 ← 300.30 m →
90 171 m²		 S 10.509416°
E  6.133118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517032623291016 y=0.529354095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517032623291016 × 217)
    floor (0.517032623291016 × 131072)
    floor (67768.5)     		tx = 67768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529354095458984 × 217)
    floor (0.529354095458984 × 131072)
    floor (69383.5)     		ty = 69383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67768 / 69383 ti = "17/67768/69383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67768/69383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67768 ÷ 217
    67768 ÷ 131072     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69383 ÷ 217
    69383 ÷ 131072     		y = 0.529350280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529350280761719 × 2 - 1) × π
    -0.0587005615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184413252838356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184413252838356))-π/2
    2×atan(0.831592075022754)-π/2
    2×0.693709767933847-π/2
    1.38741953586769-1.57079632675     		φ = -0.18337679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18337679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.506716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67768 KachelY 69383 0.10699516 -0.18337679 6.130371 -10.506716
    Oben rechts KachelX + 1 67769 KachelY 69383 0.10704310 -0.18337679 6.133118 -10.506716
    Unten links KachelX 67768 KachelY + 1 69384 0.10699516 -0.18342392 6.130371 -10.509416
    Unten rechts KachelX + 1 67769 KachelY + 1 69384 0.10704310 -0.18342392 6.133118 -10.509416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18337679--0.18342392) × R
    4.71299999999786e-05 × 6371000     		dl = 300.265229999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18337679--0.18342392) × R
    4.71299999999786e-05 × 6371000     		dr = 300.265229999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10704310) × cos(-0.18337679) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983233539426608 × 6371000     		do = 300.304831372168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10704310) × cos(-0.18342392) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983224944142355 × 6371000     		du = 300.302206151114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18337679)-sin(-0.18342392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983233539426608-0.983224944142355)×R²
    abs(0.10704310-0.10699516)×8.59528425289913e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.59528425289913e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.59528425289913e-06×40589641000000     		ar = 90170.705147416m²