Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67768 / 47752
↖ ↑ ↗
← N 43.818675°
E  6.130371°		 ← 220.38 m → N 43.818675°
E  6.133118°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
N 43.816693°
E  6.130371°		 ← 220.38 m →
48 566 m²		 N 43.816693°
E  6.133118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517032623291016 y=0.364322662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517032623291016 × 217)
    floor (0.517032623291016 × 131072)
    floor (67768.5)     		tx = 67768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364322662353516 × 217)
    floor (0.364322662353516 × 131072)
    floor (47752.5)     		ty = 47752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67768 / 47752 ti = "17/67768/47752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67768/47752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67768 ÷ 217
    67768 ÷ 131072     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47752 ÷ 217
    47752 ÷ 131072     		y = 0.36431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.852509822843079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852509822843079))-π/2
    2×atan(2.34552632617274)-π/2
    2×1.16778823843291-π/2
    2.33557647686582-1.57079632675     		φ = 0.76478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.818675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67768 KachelY 47752 0.10699516 0.76478015 6.130371 43.818675
    Oben rechts KachelX + 1 67769 KachelY 47752 0.10704310 0.76478015 6.133118 43.818675
    Unten links KachelX 67768 KachelY + 1 47753 0.10699516 0.76474556 6.130371 43.816693
    Unten rechts KachelX + 1 67769 KachelY + 1 47753 0.10704310 0.76474556 6.133118 43.816693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76478015-0.76474556) × R
    3.45899999999455e-05 × 6371000     		dl = 220.372889999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76478015-0.76474556) × R
    3.45899999999455e-05 × 6371000     		dr = 220.372889999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10704310) × cos(0.76478015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721534594260858 × 6371000     		do = 220.375237387706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10704310) × cos(0.76474556) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721558543197576 × 6371000     		du = 220.382552009425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76478015)-sin(0.76474556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721534594260858-0.721558543197576)×R²
    abs(0.10704310-0.10699516)×2.39489367175327e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39489367175327e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39489367175327e-05×40589641000000     		ar = 48565.5339245792m²