Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67766 / 44890
↖ ↑ ↗
← N 49.221185°
E  6.124878°		 ← 199.44 m → N 49.221185°
E  6.127624°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.219391°
E  6.124878°		 ← 199.45 m →
39 785 m²		 N 49.219391°
E  6.127624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517017364501953 y=0.342487335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517017364501953 × 217)
    floor (0.517017364501953 × 131072)
    floor (67766.5)     		tx = 67766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342487335205078 × 217)
    floor (0.342487335205078 × 131072)
    floor (44890.5)     		ty = 44890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67766 / 44890 ti = "17/67766/44890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67766/44890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67766 ÷ 217
    67766 ÷ 131072     		x = 0.517013549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44890 ÷ 217
    44890 ÷ 131072     		y = 0.342483520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517013549804688 × 2 - 1) × π
    0.034027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10689929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342483520507812 × 2 - 1) × π
    0.315032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.989705229555679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10689929} λ = 0.10689929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989705229555679))-π/2
    2×atan(2.69044129287675)-π/2
    2×1.21493403376574-π/2
    2.42986806753147-1.57079632675     		φ = 0.85907174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10689929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.124878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85907174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.221185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67766 KachelY 44890 0.10689929 0.85907174 6.124878 49.221185
    Oben rechts KachelX + 1 67767 KachelY 44890 0.10694722 0.85907174 6.127624 49.221185
    Unten links KachelX 67766 KachelY + 1 44891 0.10689929 0.85904043 6.124878 49.219391
    Unten rechts KachelX + 1 67767 KachelY + 1 44891 0.10694722 0.85904043 6.127624 49.219391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85907174-0.85904043) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85907174-0.85904043) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10689929-0.10694722) × cos(0.85907174) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.653140661908682 × 6371000     		do = 199.444358395985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10689929-0.10694722) × cos(0.85904043) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.653164370666635 × 6371000     		du = 199.451598150443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85907174)-sin(0.85904043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653140661908682-0.653164370666635)×R²
    abs(0.10694722-0.10689929)×2.37087579526563e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37087579526563e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37087579526563e-05×40589641000000     		ar = 39785.0869117362m²