Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67762 / 45039
↖ ↑ ↗
← N 48.953170°
E  6.113892°		 ← 200.57 m → N 48.953170°
E  6.116638°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 48.951367°
E  6.113892°		 ← 200.57 m →
40 226 m²		 N 48.951367°
E  6.116638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516986846923828 y=0.343624114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516986846923828 × 217)
    floor (0.516986846923828 × 131072)
    floor (67762.5)     		tx = 67762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343624114990234 × 217)
    floor (0.343624114990234 × 131072)
    floor (45039.5)     		ty = 45039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67762 / 45039 ti = "17/67762/45039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67762/45039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67762 ÷ 217
    67762 ÷ 131072     		x = 0.516983032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45039 ÷ 217
    45039 ÷ 131072     		y = 0.343620300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516983032226562 × 2 - 1) × π
    0.033966064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10670754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343620300292969 × 2 - 1) × π
    0.312759399414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.982562631512291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10670754} λ = 0.10670754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982562631512291))-π/2
    2×atan(2.67129301778526)-π/2
    2×1.21259516230456-π/2
    2.42519032460911-1.57079632675     		φ = 0.85439400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10670754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.113892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85439400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.953170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67762 KachelY 45039 0.10670754 0.85439400 6.113892 48.953170
    Oben rechts KachelX + 1 67763 KachelY 45039 0.10675548 0.85439400 6.116638 48.953170
    Unten links KachelX 67762 KachelY + 1 45040 0.10670754 0.85436252 6.113892 48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 67763 KachelY + 1 45040 0.10675548 0.85436252 6.116638 48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85439400-0.85436252) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dl = 200.559079999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85439400-0.85436252) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dr = 200.559079999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10670754-0.10675548) × cos(0.85439400) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.656675659192463 × 6371000     		do = 200.56564914883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10670754-0.10675548) × cos(0.85436252) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 200.572900274791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85439400)-sin(0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656675659192463-0.656699400236557)×R²
    abs(0.10675548-0.10670754)×2.37410440937502e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37410440937502e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37410440937502e-05×40589641000000     		ar = 40225.9892156944m²