Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67760 / 46864
↖ ↑ ↗
← N 45.552525°
E  6.108398°		 ← 213.88 m → N 45.552525°
E  6.111145°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
N 45.550602°
E  6.108398°		 ← 213.88 m →
45 743 m²		 N 45.550602°
E  6.111145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516971588134766 y=0.357547760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516971588134766 × 217)
    floor (0.516971588134766 × 131072)
    floor (67760.5)     		tx = 67760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357547760009766 × 217)
    floor (0.357547760009766 × 131072)
    floor (46864.5)     		ty = 46864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67760 / 46864 ti = "17/67760/46864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67760/46864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67760 ÷ 217
    67760 ÷ 131072     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46864 ÷ 217
    46864 ÷ 131072     		y = 0.3575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3575439453125 × 2 - 1) × π
    0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895077789705689))-π/2
    2×atan(2.44752617439799)-π/2
    2×1.18291893750536-π/2
    2.36583787501072-1.57079632675     		φ = 0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67760 KachelY 46864 0.10661166 0.79504155 6.108398 45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 67761 KachelY 46864 0.10665960 0.79504155 6.111145 45.552525
    Unten links KachelX 67760 KachelY + 1 46865 0.10661166 0.79500798 6.108398 45.550602
    Unten rechts KachelX + 1 67761 KachelY + 1 46865 0.10665960 0.79500798 6.111145 45.550602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79504155-0.79500798) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dl = 213.874470000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79504155-0.79500798) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dr = 213.874470000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10665960) × cos(0.79504155) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 213.875933451284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10665960) × cos(0.79500798) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.700279069387175 × 6371000     		du = 213.883252974073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79504155)-sin(0.79500798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.700279069387175)×R²
    abs(0.10665960-0.10661166)×2.39649833987388e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39649833987388e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39649833987388e-05×40589641000000     		ar = 45743.3846464596m²